Selasa, 27 Desember 2016
Pengantar Pemahaman Matematika
Siapapun yang
telah mengkaji pencurahan baru dari penilaian nasional dan internasional
tentang prestasi matematika (misalnya, Dossey, Mullis, Lindquist, &
Chamber, 1988; LaPointe, Mead, & Philiips, 1989; Robitaile & Garden,
1989; Stevenson, & Stigler, 1992 ; Stigler, Lee & Stevenson, 1990)
dihadapkan dengan fakta tak terelakkan mengenai prestasi matematika siswa di
negara-negara Amerika: Meskipun banyak siswa akhirnya belajar untuk melakukan
dengan baik pada tes keterampilan tingkat rendah seperti aritmatika
perhitungan, mereka cenderung berkinerja buruk pada tes keterampilan tingkat
tinggi seperti pemecahan masalah matematika. Sebagai contoh, tahun 1986
penilaian kemajuan pendidikan nasional menemukan bahwa hampir semua anak yang
berusia 17 tahun dapat menyelesaikan masalah aritmatika dasar seperti yang
ditunjukkan di atas Gambar. 2.1, namun hampir semua gagal untuk memecahkan
masalah kata tahapan seperti yang ditunjukkan di bawah gambar (Dossey et al.,
1988). Rata-rata, banyak siswa mungkin tahu bagaimana melaksanakan prosedur
matematika dasar ketika masalah disajikan dalam bentuk simbolik, tetapi mungkin
tidak dapat menerapkan prosedur ini untuk memecahkan masalah yang disajikan
dalam kata-kata. Singkatnya, penilaian ini menunjukkan bahwa kesulitan bagi
siswa terletak pada pemahaman masalah daripada melaksanakan prosedur.
Berdasarkan
kinerja tersebut, di Amerika Serikat telah memberitakan untuk pengajaran
pemecahan masalah matematika. Sebagai contoh, Kurikulum dan Standar Evaluasi
untuk Sekolah Matematika (Dewan Nasional Guru Matematika, 1989) menerangkan
bahwa "pergeseran penekanan dari kurikulum didominasi oleh fakta-fakta
yang ada dan prosedur yang menekankan pemahaman konseptual, representasi ganda
dan koneksi, pemodelan matematika, serta pemecahan masalah matematika
"(hlm. 125). Seruan tersebut didengar seluruh bangsa, pendidik sibuk
merevisi kurikulum matematika untuk menekankan tatanan pemikiran matematika
yang lebih tinggi sebagaimana dicontohkan dalam Kerangka Matematika untuk Sekolah
Umum California (Departemen Pendidikan Kalifornia, 1992).
Gerakan
reformasi di Amerika menyediakan latar belakang pendidikan matematika yang
tepat untuk psikologi kognitif yang digunakan dalam pemecahan masalah
matematika. Meskipun reformasi dilanjutkan, psikologi kognitif mungkin
diperingatkan dengan pertanyaan teoritis yang tak terjawab yang jawabannya bisa
dan, menurut pendapat saya, harus, berkontribusi terhadap perubahan pendidikan
matematika. Mengapa beberapa siswa berhasil menghitung jawaban untuk masalah
aritmatika, walaupun mereka tidak mampu memecahkan masalah yang memerlukan
perhitungan aritmatika dasar yang sama? Mana proses kognitif yang mendasari
untuk memecahkan masalah matematika? Apakah orang yang sukses memecahkan
masalah matematika itu tahu? Ini adalah pertanyaan-pertanyaan yang memotivasi
bab ini.
Walaupun
penciptaan teori umum dari pemecahan masalah umum berdasarkan strategi
pemecahan masalah umum merupakan tujuan utama di tahun 1970-an (Newell &
Simon, 1972), tren terkini dalam riset keahlian yang menunjuk ke peran penting
dalam pengetahuan khusus dari pemecahan masalah (Chi,, Berbagai & Farr,
1988; Ericsson & Smith, 1991; Sternberg & Frensch, 1991). Berdasarkan
penelitian panjang (Grouws sejarah, 1992; Resnick & Ford, 1981), statusnya
sebagai perdana menteri "psikologi subyek" (Mayer, 1989), dan mampu
untuk melakukan pemodelan kognitif. Kajian pemecahan masalah matematika
menawarkan konteks penting untuk mempelajari pertanyaan tentang kognitif.
Dalam membangun
teori kognitif pemecahan masalah, peneliti berfokus pada prosedur dimana
pemecah masalah menggunakan solusi masalah daripada proses yang mereka gunakan
untuk mewakili masalah (Mayer, 1985, 1992). Demikian pula, penelitian kognitif
dalam matematika terkadang menekankan perolehan keterampilan matematika seperti
prosedur sebagai komputasi dan strategi (Siegler & Jenkins, 1989; Singley
& Anderson, 1989), sedangkan tujuan yang sama pentingnya adalah untuk
mengembangkan keterangan dari pemecah masalah memahami masalah. Dengan berfokus
pada proses pemahaman, kita sama sekali tidak ingin mengurangi peran penting
keterampilan kognitif dasar seperti prosedur komputasi. Motivasi kita untuk
mempelajari proses pemahaman masalah dari tumbuhnya bukti bahwa masalah yang
paling representasi daripada mengeksekusi solusi masalah (Cardelle Elawar,
1992; Cummins, Kintsch, Reisser & Weimer, 1988; De Corte, Verschaffel,
& De winn, 1985).
Apa itu pemecahan masalah matematika?
Tempat yang
baik untuk memulai adalah dengan definisi yang bisa diterapkan dari apa yang
dimaksud dengan istilah dasar seperti masalah, pemecahan masalah, masalah
matematika, dan pemecahan masalah matematika. Masalah ada ketika pemecah
masalah “telah memiliki tujuan tetapi tidak tahu cara untuk mencapai tujuan
ini. (Duncker 1945, hal.1). Singkatnya,
Anda memiliki masalah ketika situasi sedang dalam keadaan tertentu, Anda ingin
situasi untuk berada dalam keadaan tujuan, dan tidak ada cara yang jelas
bergerak dari yang diberikan kepada keadaan tujuan. Ada tiga unsur dalam
deskripsi masalah, keadaan tertentu, keadaan tujuan, dan operasi yang
diijinkan. Misalnya, jika masalahnya adalah untuk mereformasi K-12 kurikulum
matematika di Amerika Serikat untuk mendorong memecahkan masalah, keadaan yang
diberikan adalah kurikulum sekarang, keadaan tujuan adalah revisi kurikulum,
dan operator yang diizinkan melibatkan perubahan apa yang terjadi di kelas.
Memecahkan
masalah (atau berpikir) terjadi untuk mengatasi masalah yaitu, sebagai pemecah
masalah mengerti bagaimana untuk mendapatkan dari keadaan yang diberikan kepada
keadaan tujuan. Duncker (1945) menyatakan: " kapanpun seseorang tidak
dapat pergi dari situasi yang diberikan untuk situasi yang diinginkan hanya
oleh tindakan, maka harus ada jalan lain untuk berpikir. Pemikiran seperti
memiliki tugas merancang beberapa tindakan yang akan memediasi antara keluarnya
dan situasi yang diinginkan "(hal.1). Singkatnya, pemecahan masalah (atau
berpikir) mengacu pada proses kognitif yang memungkinkan pemecah masalah untuk
bergerak dari keadaan tidak tahu bagaimana untuk memecahkan masalah untuk
keadaan mengetahui bagaimana mengatasinya.
Masalah dapat
dikategorikan sebagai prosedur matematik, seperti sebuah aritmetik atau
prosedur aljabar yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah. Misalnya, yang
telah disebutkan tentang masalah Christine (ditampilkan di bawah Gambar. 2.1)
merupakan masalah matematika karena solusinya membutuhkan perhitungan
aritmatika. Demikian pula, pemecahan masalah matematika (atau berpikir) terjadi
ketika seorang pemecah masalah ingin memecahkan masalah matematika tetapi tidak
tahu bagaimana melakukannya. Kesimpulannya, pemecahan masalah matematika adalah
proses kognitif memikirkan cara memecahkan masalah matematika yang tidak tahu
bagaimana untuk mengatasi.
Apa saja jenis-jenis masalah matematika?
Hal ini berguna
untuk menganalisis lebih lanjut masalah matematika kepada mereka yang rutin dan
mereka yang tidak rutin. Masalah yang rutin ada bila penyelesai masalah tahu
bagaimana untuk melaksanakan prosedur solusi yang benar dan mengakui bahwa prosedur
solusi yang sesuai untuk masalah. Sebagai contoh, perhatikan masalah: (70-60) +
(90-80) = ____. Ini merupakan sebuah masalah umum untuk kebanyakan orang dewasa
yang terdidik karena apa yang harus dilakukan adalah jelas dan kebanyakan orang
dewasa tahu bagaimana untuk menghitung. Pemecah masalah tahu bagaimana untuk
mewakili masalah yaitu, melaksanakan dua pengurangan dan menambahkan hasil-dan
pemecah masalah tahu bagaimana diperlukan untuk mewakili-yaitu, bagaimana untuk
mengurangi dan menambahkan. Menurut definisi, masalah yang rutin tidak
benar-benar masalah sama sekali karena pemecah masalah tahu apa yang harus
dilakukan dan bagaimana melakukannya. Untuk alasan ini, masalah tersebut sering
disebut sebagai latihan.
Masalah non
rutin terjadi ketika seorang pemecah masalah memiliki masalah tapi tidak segera
melihat bagaimana mengatasinya. Misalnya, mempertimbangkan masalah perdagangan
kuda:
Seorang pria
membeli kuda seharga $ 60 dan dijual nanti seharga $ 70. Kemudian ia membelinya
kembali seharga $ 80 dan menjualnya lagi
seharga $ 90. Berapa banyak yang dia buat dalam bisnis perdagangan kuda?
(Maier & Burke, 1967, hlm. 307)
Ini masalah non
rutin karena apa yang harus dilakukan tidak jelas. Ketika Maier dan Burke
memberi masalah ini: untuk siswa, mereka menemukan bahwa banyak siswa dikurangi
60 dari 70, kurangi 80 dari 90, dan menambahkan tiga hasil untuk menghasilkan
jawaban dari 10. Meskipun mereka melakukan perhitungan dengan benar, siswa
tersebut telah salah paham terhadap masalah. Mereka dengan benar melakukan
gambaran komputasi berdasarkan perwakilan yang salah dari masalah. Jika ada
siswa yang mengatakan bahwa transaksi pertama terlibat sebuah kuda putih dan
transaksi kedua terlibat sebuah kuda hitam, mereka yang cenderung mewakili
masalah dengan benar dan melaksanakan rencana solusi yang benar (kurang 60 dari
70 untuk transaksi yang pertama, kurang 80 dari 90 untuk transaksi yang kedua,
kurang 80 dari 90 untuk transaksi yang kedua, dan menambahkan hasil).
Beberapa
masalah kata yang kreatif mungkin untuk masalah yang rutin , sedangkan
masalah-masalah kata lain adalah nonroutine. Misalnya, jika siswa mengetahui
cara menggunakan rumus jarak = kecepatan x waktu, dan
telah akrab dengan jarak, kecepatan, dan masalah waktu.
Kemudian masalah berikut ini:
Sebuah mobil
berjalan selama 2 jam dengan rata-rata 40 mil per jam.
Seberapa jauh
mobil pergi?
Dalam hal ini, saat ada masalah mereka mengetahui apa yang harus
dilakukan (misalnya, berkembang biak 2 kali 40) dan bagaimana untuk
melakukannya (misalnya, 2 x 40 = 80).
Sebaliknya, mempertimbangkan masalah berikut yang di permukaan juga
akan tampak seperti jarak, kecepatan masalah waktu:
Sebuah mobil di Philadelphia mulai jalan pada 40 mil per jam. Lima
belas menit kemudian, sebuah mobil dari New York mulai jalan ke Philadelphia,
90 mil berjalan pada 55 mil per jam. Mana mobil yang paling dekat dari
Philadelphia ketika mereka bertemu?
Meskipun
masalah ini mungkin muncul untuk menjad rutin, Davidson (1995) menemukan bahwa
sebagian besar siswa gagal untuk memberikan jawaban yang benar. Ini adalah
benar-benar suatu masalah nonrutine untuk kebanyakan para mahasiswa karena
mereka gagal untuk mengakui apa yang diminta untuk menemukan sesuatu. Setelah
peserta memahami pentingnya ungkapan "ketika mereka bertemu,", jelas bahwa
perhitungan tidak diperlukan. Kedua mobil akan sama-sama jauh dari Philadelphia
ketika mereka bertemu.
Sebagai contoh lain, pertimbangkan hal berikut ini, yang merupakan
masalah kata rutin untuk siswa sekolah:
Bunga bakung
akan menggadakan diri setiap 24 jam. Pada minggu pertama, ada satu bunga bakung
pada sebuah danau. Berapa banyak bunga bakung setelah 7 hari?
Ini adalah masalah umum untuk seseorang yang telah menyelesaikan
banyak masalah dalam jumlah seri volving karena apa yang harus dilakukan adalah
jelas. Bunga bakung akan bertambah 1 x 2
x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 dan pemecah masalah tahu bagaimana bunga bakung bisa
bertambah
Sebaliknya, versi berikut bunga bakung adalah masalah nonrutin
untuk sebagian besar siswa:
Bunga bakung
akan menggandakan diri setiap 24 jam. Pada awal musim panas, ada satu bunga
bakung di danau. Butuh waktu 60 hari untuk danau menjadi benar-benar tertutup
oleh bunga bakung. Pada hari apa sebagian danau tertutup?
Ketika Sternberg dan Davidson (1982) memberikan masalah ini
untuk siswa, sebuah jawaban yang umum adalah untuk membagi 60 oleh 2, dan
memberikan 30 sebagai jawabannya. Dalam hal ini, perhitungan yang dilakukan
adalah benar tetapi ada salah penafsiran terhadap masalah. Alih-alih mencoba
melakukan perhitungan, pemecah masalah harus menyadari bahwa pada hari ke 59
danau harus tertutupi setengahnya. Masalah ini adalah masalah nonrutin karena
jalan untuk mengatasi masalah tidak secara jelas. Dalam bab ini, kami
memfokuskan pada masalah nonrutin daripada masalah rutin untuk lebih memahami
proses bagaimana mahasiswa mengartikan masalah matematika.
Apa proses kognitif dalam pemecahan masalah matematika?
Halnya suatu kebiasaan dalam literatur pemecahan masalah untuk
membedakan antara dua jenis pemecahan masalah, representasi, dan solusi.
Representasi terjadi ketika pemecah masalah mencoba memahami masalah dan solusi
terjadi ketika pemecah masalah butuh untuk memecahkan masalah.
Sebagai contoh, misalkan seorang siswa yang tahu cara membaca
kalimat bahasa inggris dan yang tahu bagaimana untuk menghitung jawaban dari
masalah aritmatika diminta untuk memecahkan masalah mentega disajikan pada
gambar 2.2. Masalah ini membutuhkan dua perhitungan, maka kami menyebutnya
sebagai two-step problem. Ketika kita
meminta anak SMA dan mahasiswa perguruan tinggi untuk mengatasi masalah ini,
sebuah pendekatan umum yang digunakan adalah untuk mengurangi 2 dari 65 dan
hasilnya dikalikan oleh 4, sedangkan solusi yang tepat adalah menambah 2 untuk
65 dan dikalikan oleh 4 (Hegarty, Mayer, & Green’ 1992; Hegarty, Mayer,
& Monk, 1995; Lewis & Mayer, 1987). Namun , ketika kita bertanya kepada
siswa yang sama untuk menyelesaikan masalah perhitungan two-step, seperti
4(65+2)=___, mereka melakukan dengan sempurna.
Meskipun semua siswa dalam studi kami
dapat menyelasikan masalah perhitungan seperti
4(65+2) =__, banyak menghasilkan jawaban yang salah untuk masalah kata
membutuhkan perhitungan yang identik. Dalam kasus ini, penyelasai masalah tahu
dengan benar untuk menunjukkan solusi dari prosedur eksekusi itu, tahu
bagaimana untuk melaksanakan perhitungan two-step aritmatika tetapi berlaku
prosedur yang salah dalam masalah. Singkatnya, eksekusi masalah rutin tetapi
representasi masalah tidak rutin. Pola ini menunjukkan bahwa siswa memiliki
kesulitan dalam mereprensentasikan itu, memahami masalah tapi tidak dengan
solusinya, melakukan perhitungan dalam rencana solusi.
Mayer (1985, 1992,
1994) telah mengusulkan empat proses komponen utama dalam masalah matematika
solusi-menerjemahkan, mengintegrasikan, perencanaan, dan pelaksanaan.
Menerjemahkan melibatkan membangun representasi mental dari setiap pernyataan
dalam masalah, seperti mengakui bahwa pernyataan pertama berarti bahwa biaya
(dalam sen) dari tongkat mentega di Lucky adalah 65. Mengintegrasikan melibatkan
membangun representasi mental dari situasi yang dijelaskan dalam masalah,
termasuk pengakuan bahwa mentega di Vons biayanya lebih daripada di Lucky.
Perencanaan melibatkan merancang rencana untuk bagaimana memecahkan masalah,
seperti pertama menghitung biaya tongkat mentega di Vons dengan menambahkan 2
untuk 65 dan kemudian menemukan total biaya dengan mengalikan hasilnya dengan
4. Pelaksana melibatkan melaksanakan rencana tersebut, termasuk perhitungan
seperti 65 + 2 = 67 dan 67 x 4 = 26
Dalam bab ini kita
fokus pada proses yang terlibat dalam representasi masalah; yaitu,
menerjemahkan dan mengintegrasikan, serta produk alami dari representasi
masalah; yaitu, perencanaan. Kami fokus pada proses
|
Di Lucky, biayamentega 65 sen per
batang.
Ini adalah 2 sen kurang per batang dari mentega di Vons. Jika Anda perlu membeli 4 batang mentega, berapa banyak Anda akan membayar di Vons? |
representasi masalah karena siswa sering
benar menyusun dan melaksanakan rencana komputasi didasarkan pada representasi yang
salah dari masalah. Singkatnya, kita mendasarkan pendekatan kami pada premis
bahwa kunci penting untuk masalah matematika pemecahan sisanya dalam proses
dimana siswa berusaha untuk memahami masalah matematika. Konsisten dengan teori
klasik pemecahan masalah (Duncker, 1945; Mayer, 1992; Wertheimer, 1959), kami
berpendapat bahwa karya kreatif utama dalam memecahkan masalah kata
beristirahat dalam memahami apa masalahnya berarti. Menurut pandangan ini,
melaksanakan rencana solusi alami berikut dari representasi masalah pemecah ini
dari masalah.
Teori
Pengertian Matematika
Dua
Jalan Menuju Pemahaman Matematika
Ketika dihadapkan dengan masalah cerita
matematika, beberapa orang mulai dengan memilih nomor dari masalah dan
bersiap-siap untuk melakukan operasi aritmatika pada mereka-prosedur yang kita
sebut terjemahan langsung strategi-sedangkan orang lain mulai dengan mencoba
memahami situasi yang digambarkan dalam masalah dan merancang rencana solusi
berdasarkan perwakilan mereka dari situasi-prosedur yang kita sebut strategi
model yang masalah. Strategi terjemahan langsung adalah pendekatan heuristik
pintas yang menekankan perhitungan, sedangkan model pendekatan masalah adalah
pendekatan rasional yang mendalam berdasarkan pemahaman masalah. Strategi
terjemahan langsung menekankan kuantitatif penalaran-yang, komputasi
jawaban-sedangkan strategi Model masalah numerik menekankan kualitatif
penalaran-yang, memahami hubungan antara variabel dalam masalah.
Strategi
Terjemahan langsung. misalnya, dalam masalah Christine
disajikan dalam Fig.2.1, pemecah masalah menggunakan strategi terjemahan
langsung akan memilih setidaknya beberapa nomor kunci dalam masalah (seperti
850 dan 12) dan melakukan operasi aritmatika yang paling kuat prima dengan kata
kunci dalam masalah (seperti "bunga"). Dalam hal ini, pemecah masalah
mungkin kalikan 850 oleh 0,12, menghasilkan jawaban 102. pendekatan pintas ini
dapat diringkas sebagai "menghitung pertama dan berpikir nanti"
(Stigler et al., 1990. hal.15) karena masalah solver terlibat dalam penalaran
kuantitatif sebelum penalaran kualitatif (Mayer, Lewis, & Hegarty, 1992)
Strategi terjemahan langsung
adalah karakter akrab di beberapa literatur penelitian, sebagai metode pilihan
untuk kurang berhasil pemecah masalah. Misalnya, penelitian lintas-nasional
pada pemecahan masalah matematika mengungkapkan bahwa anak-anak Amerika lebih
mungkin bahwa anak-anak Jepang untuk terlibat dalam short-cut pendekatan untuk
masalah cerita, dan bahwa instruksi di sekolah-sekolah AS lebih mungkin bahwa
instruksi di sekolah Jepang untuk menekankan komputasi yang benar jawabannya
numerik di hamparan memahami masalah (Stevenson & Stigler, 1992; Stigler et
al., 1990). Demikian pula, penelitian tentang ahli / perbedaan pemula juga
mengungkapkan bahwa pemula lebih cenderung untuk fokus pada komputasi jawaban
kuantitatif untuk masalah cerita (seperti dalam fisika), sedangkan ahli lebih
cenderung awalnya mengandalkan pemahaman kuantitatif masalah sebelum mencari
solusi secara kuantitatif (Chi et al., 1992; Smith, 1991; Sternberg &
Frensch, 1991)
Keuntungan dari
strategi terjemahan langsung adalah bahwa hal itu membuat tuntutan minimal pada
memori, dan tidak tergantung pada pengetahuan luas tentang jenis masalah.
Sebuah kelemahan penting adalah bahwa hal itu sering mengarah ke jawaban yang
salah (Hegarty et al., 1992; Lewis & Mayer, 1987; Mayer, 1987; Mayer et
al., 1992; Verschaffel, De Corte, & Pauwels, 1992).
Soal
strategi Model. Sebaliknya, strategi Model
masalah terdiri dari membangun pemahaman kualitatif dari situasi masalah
sebelum mencoba untuk melakukan perhitungan aritmatika. Dalam kasus masalah
Christine, misalnya, problem solver mulai dengan mencari untuk membangun
representasi internal dari pernyataan individu dalam masalah-seperti yang
jumlah utang tidak diketahui. Juga, masalah pemecah berusaha untuk memahami
situasi umum yang dijelaskan dalam masalah-orang meminjam sejumlah uang
tertentu (yaitu, meminjam JUMLAH), menimbulkan sejumlah bunga (yaitu, BUNGA
JUMLAH), dan harus membayar total ( yaitu, TOTAL JUMLAH) yang terdiri dari
jumlah dari jumlah yang dipinjam dan jumlah bunga. Maka masalah pemecah
membangun rencana untuk memecahkan masalah, seperti pertama menentukan jumlah
bunga (yaitu, oleh multiplying.12 dan 850) dan kemudian menentukan jumlah total
(yaitu, dengan menambahkan produk ini dan 850). Ini komponen-lokal di sana
pemahaman pernyataan masalah, pemahaman global situasi masalah, dan konstruksi
solusi rencana-merupakan tiga komponen utama dalam proses masalah matematika
pemecahan (Mayer, 1985, 1992)
Melihat Dari Dekat Proses Pemahaman
Ketika seorang pemecah
masalah dihadapkan dengan masalah matematika, bagaimana pemecah masalah mencari tahu apa yang harus
dilakukan? Pada bagian ini, kita memeriksa secara lebih rinci masing-masing
tiga komponen inti dalam pemahaman proses-terjemahan, integrasi, dan
perencanaan. Peran proses komponen ini
di masing-masing dua jenis strategi pemahaman diringkas dalam gambar.2.3.
Pembangunan
Basis Teks. Langkah pertama ini mewakili setiap
pernyataan dalam masalah-proses terjemahan yang kita asumsikan identik untuk
kedua terjemahan dan model masalah strategi langsung. Seperti dalam kebanyakan
teori pemahaman teks (Just & Carpenter, 1987; Perrig & Kintsch, 1985;
van Djik & Kintsch, 1983; Weaver & Kintsch, 1992), kita asumsikan bahwa
teks dalam masalah matematika diproses secara bertahap. Pada setiap kenaikan, kita
asumsikan bahwa pemecah masalah membaca pernyataan; yaitu, klausa atau kalimat
mengungkapkan sepotong informasi tentang salah satu variabel atau nilai dalam
masalah. Dalam membangun basis teks, pemecah masalah harus mewakili isi
proposisional dari pernyataan ini dan menghubungkannya dengan informasi lain
dalam nya representasi permasalahan saat ini.
Dalam proses yang
mewakili setiap pernyataan, pemecah masalah dapat menggunakan pengetahuan
tentang jenis pernyataan yang terjadi di masalah matematika, yang telah
dianalisis secara resmi oleh Mayer (1981). Ini termasuk tugas, yang
mengekspresikan nilai variabel tertentu; hubungan, yang mengungkapkan hubungan
kuantitatif antara dua variabel; dan pertanyaan, yang mengungkapkan bahwa nilai
variabel tertentu dalam tidak diketahui. Misalnya, masalah mentega dikutip
dalam Gambar. 2.2 dapat dianalisis menjadi dua tugas, satu relasi, dan
pertanyaan:
((Sama)
BUTTER AT LUCKY, 0,65)
((Sama) BUTTER AT LUCKY
((Sama) BUTTER AT LUCKY
((minus)
BUTTER AT Vons, 0,02)
((Sama) JUMLAH TONGKAT mentega, 4)
((Sama) TOTAL BIAYA, tidak diketahui)
((Sama) JUMLAH TONGKAT mentega, 4)
((Sama) TOTAL BIAYA, tidak diketahui)
Unit ukuran dan percakapan skala juga
harus dikodekan sebagai bagian dari setiap pernyataan.
Sebagai pemecah masalah
membaca lebih setiap pernyataan baru, ia menghubungkan dengan basis teks saat
ini dengan membuat koneksi referensial. Proses ini tergantung pada komputasi
sebagaimana ditentukan dalam model umum pemahaman teks (Clark, 1969; Ehrlich
& Rayner, 1983). Misalnya, dalam mentega pemecah masalah harus mengakui
bahwa "ini" dalam kalimat kedua mengacu pada objek yang sama seperti
"mentega di beruntung" dalam kalimat pertama, dan bahwa "tongkat
mentega" dalam kalimat ketiga mengacu pada "tongkat" di kalimat
pertama dan kedua. Singkatnya, tugas utama dari pemecah masalah adalah untuk
menerjemahkan setiap pernyataan dari masalah menjadi representasi proporsional
internal dan untuk menghubungkan proposisi pada dasar koheren menjadi
representasi jaringan semantik.
Pembangunan Perwakilan Soal. Langkah kedua adalah pembangunan
representasi yang koheren dari masalah-proses integrasi yang kita asumsikan
sangat berbeda dalam terjemahan dan model masalah strategi langsung. Kami
mengusulkan bahwa siklus pemecah masalah antara proses ini dan proses membangun
basis teks beberapa kali saat membaca masalah. Artinya, kami mengusulkan bahwa
sebagai pemecah masalah membaca setiap pernyataan baru dari masalah, ia pertama
update bahwa basis teks dan kemudian update masalah representasi (Kintsch
& Greeno, 1985; van Djik & Kintsch, 1983). Dalam strategi terjemahan
langsung, proses integrasi melibatkan memproses setiap proposisi dalam basis
teks menentukan apakah atau tidak mengandung kunci fakta-yaitu, nomor atau kata
kunci seperti "lebih", "kurang", atau "sama
sekali" . Kami mengusulkan pemecah masalah menghapus informasi yang tidak
penting, sehingga setelah beberapa siklus representasi ini berisi informasi
jauh lebih sedikit daripada teks asli dasar-yaitu, hanya proposisi yang berisi
angka dan kata kunci. Misalnya, dalam masalah mentega, masalah pemecah abstrak
65 sen, 2 sen, kurang, berapa banyak, 4 tongkat.
Sebaliknya, pertimbangkan strategi model yang masalah. kami
mengusulkan bahwa pemecah masalah menggunakan pendekatan ini membangun model
mental dari situasi yang dijelaskan dalam masalah menggunakan representasi
objek-berpusat. Karena setiap proposisi diproses, pemecah masalah harus
menentukan apakah ini mengacu pada objek baru atau objek yang sudah terwakili
dalam nya Model. Model Masalah telah dikonseptualisasikan sebagai koleksi
benda-benda diatur dalam set (Riley & Greeno,
1988; Riley, Greeno, & Heller, 1983) atau sebagai array dari objek sepanjang garis nomor di
mana posisi suatu objek merupakan nilai (Case &
Okamoto, in press; Lewis, 1989; Lewis, 1989; Lewis & Nathan, 1991). Kami menggunakan format nomor
baris di sini karena lebih sesuai untuk jumlah besar dijelaskan dalam masalah
contoh kita.
Misalnya, dalam masalah
mentega, pernyataan pertama menyebutkan satu kuantitas-harga tongkat mentega
Lucky. Ketika ini dibaca, pemecah masalah mungkin membangun representasi dari
nomor baris dengan simbol untuk Lucky di 65 pada baris nomor. Pernyataan kedua
menambahkan kuantitas-kedua harga tongkat mentega di Vons, yang 2 sen lebih
dari harga di Lucky, sehingga problem solver harus menambahkan simbol untuk
Vons 2 unit ke kanan Beruntung pada garis bilangan . Oleh karena itu, model
masalah terdiri dari dua benda, Lucky dan Vons (mewakili harga tongkat mentega
di toko-toko ini), dengan hubungan mereka diwakili oleh posisi relatif mereka
pada garis bilangan. Ketika kalimat ketiga diproses, pemecah masalah harus
dicatat bahwa objek tersebut adalah biaya 4 tongkat di Vons-jadi simbol untuk
Vons pada garis bilangan begitu ditandai.
Singkatnya, orang yang
membangun sebuah model masalah mengubah format representasi mereka dari
proposisi-berbasis representasi berbasis obyek dan rumit representasi mereka
pada tahap pemahaman masalah. Sebaliknya, orang yang menggunakan pendekatan
terjemahan langsung membangun representasi yang lebih miskin pada tahap ini;
yaitu, representasi yang berisi informasi kurang dari basis teks awal.
Pembangunan
Solusi Rencana. Salah satu masalah pemecah telah
mewakili informasi dalam masalah, pemecah masalah siap untuk merencanakan
perhitungan aritmatika yang diperlukan untuk memecahkan masalah. Sebuah pemecah
masalah dengan menggunakan strategi terjemahan langsung harus mendasarkan
rencana pada nomor dan kata kunci yang telah diidentifikasi dalam masalah
statement- "65", "2", dan "kurang" menyarankan
bahwa langkah pertama dari rencana tersebut adalah untuk mengurangi 2 dari 65
karena "kurang" pengurangan perdana, dan "berapa banyak"
dan "4" menunjukkan bahwa tahap kedua adalah untuk kalikan hasilnya
dengan 4 karena "berapa banyak" bilangan prima perkalian. Rencana
tersebut dapat dinyatakan sebagai: (65-2) x 4 = ___.
Sebaliknya, seorang
pemecah masalah menggunakan masalah strategi model memiliki representasi yang
lebih kaya yang menjadi dasar rencana solusi. Misalnya, posisi relatif Vons dan
Lucky pada garis bilangan menunjukkan bahwa untuk menentukan nilai dari tongkat
mentega di Vons satu harus menambahkan karena Vons adalah hak Lucky.
representasi ini memungkinkan pemecah masalah untuk mengembangkan rencana yang
dapat dinyatakan sebagai (65 + 2) x 4 = ___. Fungsi penting lainnya dari model
representasi masalah adalah bahwa itu adalah bantuan untuk memantau proses
solusi. Misalnya, jika masalah solver menghitung nilai untuk harga di Vons yang
kurang dari 65 sen, dia tahu itu salah karena harga lebih besar dari di Lucky.
Singkatnya, kami
mengusulkan bahwa pemecah masalah dapat menggunakan salah satu dari dua jenis
strategi untuk mewakili kata masalah-strategi terjemahan langsung atau strategi
model yang masalah. Strategi terjemahan langsung terdiri dari proses
penerjemahan di mana seorang pemecah masalah mental mewakili setiap pernyataan
dalam masalah kata sebagai jaringan semantik, dan proses integrasi di mana
masalah pemecah ekstrak nomor dan kata-kata kunci yang prima operasi aritmatika
yang akan dilakukan pada mereka . Yang dihasilkan rencana solusi mungkin akan
salah untuk masalah di mana kata-kata kunci utama operasi yang tidak benar
(misalnya, ketika masalah berisi "kurang" tapi operasi yang
dibutuhkan adalah penambahan). Sebaliknya, model pendekatan masalah terdiri
dari proses penerjemahan yang sama tetapi proses integrasi yang berbeda di mana
masalah
Penelitian Tentang Pengertian Matematika
Pada bagian
ini, kami mengeksplorasi teori dua-strategi representasi masalah dengan
meneliti bagaimana siswa berpengalaman memproses masalah kata aritmatika.
Secara khusus,
kita menarik pada program penelitian yang dilakukan di University of
California, Santa Barbara, selama 15 tahun terakhir yang meneliti bagaimana
orang membaca, mengingat, dan belajar untuk memecahkan masalah kata.
Masalah membaca
kata
Dalam satu helai penelitian (Hegarty et al, 1992;..Hegarty et al, 1995), kami meneliti fiksasi mata sekolah tinggi dan mahasiswa ketika mereka membaca masalah kata. Misalnya, Gambar. 2.2 menunjukkan bagaimana masalah khas disajikan di layar komputer. Tugas siswa adalah untuk memberitahu bagaimana memecahkan masalah-seperti mengatakan "tambahkan 2 ke 65 dan kemudian kalikan dengan 4." Sebuah sistem mata-pelacakan mobitored dan dicatat fiksasi mata siswa, dan jawaban kamera video yang direkam siswa.
Setiap
siswa melihat campuran masalah, termasuk beberapa yang konsisten dan beberapa
masalah bahasa tidak konsisten, seperti ditunjukkan pada Gambar. 2.4. Ini
adalah masalah dua langkah di mana langkah pertama membutuhkan penambahan atau
pengurangan dan langkah kedua melibatkan perkalian. Dalam masalah bahasa yang
konsisten, operasi diperlukan untuk langkah pertama yang prima dengan kata
kunci (misalnya, operasi diperlukan adalah pengurangan ketika kata kunci adalah
"kurang," atau operasi yang diperlukan adalah ketika kata kunci
"lebih") . Dalam masalah bahasa yang konsisten, diperlukan operasi,
untuk langkah pertama adalah kebalikan dari operasi prima dengan kata kunci
(misalnya, operasi diperlukan adalah tambahan ketika kata kunci adalah
"kurang," atau operasi yang diperlukan adalah tambahan ketika kunci
kata "lebih"). Beberapa siswa (yang kita dicap sebagai gagal) membuat
banyak kesalahan dalam solusi perencanaan untuk masalah sedangkan yang lain
(yang kita dicap sebagai sukses) tidak membuat banyak kesalahan. Kesalahan
paling umum adalah kesalahan pembalikan di mana siswa menggunakan operasi
aritmatika prima dengan kata kunci ketika operasi berlawanan
Kurang
Konsisten
Pada
beruntung, biaya mentega 65 sen per batang.
Biaya
mentega di Vons 2 sen kurang per batang dari mentega di beruntung.
Jika
Anda perlu memberi 4 batang mentega.
Berapa
banyak Anda akan membayar di Vons?
Lebih
Konsisten
Pada
beruntung, biaya mentega 65 sen per batang.
Biaya
mentega di Vons 2 sen kurang per batang dari mentega di beruntung.
Jika
Anda perlu memberi 4 batang mentega.
Berapa
banyak Anda akan membayar di Vons?
Tidak
Konsisten
Pada
beruntung, biaya mentega 65 sen per batang.
Ini adalah 2
sen kurang per batang dari mentega di Vons.
Jika Anda perlu
membeli 4 batang mentega.
Berapa banyak
Anda akan membayar di vons?
Lebih
Tidak Konsisten
Pada
beruntung, biaya mentega 65 sen per batang.
Ini adalah 2
sen kurang per batang dari mentega di Vons.
Jika Anda perlu
membeli 4 batang mentega.
Berapa banyak
Anda akan membayar di vons?
F.I.G. 2.4.
bahasa versi yang konsisten dan tidak konsisten dari masalah mentega.
Diharuskan,
mengatakan seperti "kurangi 2 dari 65 dan kalikan dengan 4" untuk
versi masalah mentega pada Gambar. 2.2.
Prediksi 1:
pemecah masalah sukses menghabiskan lebih banyak waktu membaca masalah
konsisten daripada membaca masalah bahasa yang konsisten.
Penelitian
tentang membaca memungkinkan kita untuk menguji dampak dari terjemahan langsung
dan model masalah pendekatan pada pemahaman masalah kata. Jika siswa
menggunakan model pendekatan masalah, maka masalah tidak konsisten akan
diperlukan lebih banyak waktu untuk membaca dari kehendak masalah yang
konsisten. Hal ini karena konsisten model masalah untuk masalah tidak konsisten
melibatkan mental membalikkan istilah relasional, sedangkan membangun model
masalah bagi masalah yang tidak konsisten pada Gambar. 2.2, kuantitas kedua
(dilambangkan dengan "Vons") harus ditempatkan di sebelah kanan
beruntung pada garis bilangan, meskipun kata kunci "kurang: menyarankan menempatkannya
di sebelah kiri beruntung. Sebaliknya, jika siswa menggunakan pendekatan
terjemahan langsung maka masalah tidak konsisten dan masalah yang konsisten
akan membutuhkan sekitar jumlah yang sama dari waktu baca karena proses
penggalian kata kunci dan nomor setara untuk masalah konsisten dan tidak
konsisten. Pola ini diperkirakan karena masalah sukses pemecah-yaitu, mereka
yang menyusun solusi yang tepat rencana-mungkin menggunakan model pendekatan
masalah.
Hasil
dari serangkaian penelitian mengungkapkan bahwa, seperti yang diharapkan,
sukses pemecah masalah diperlukan waktu untuk membaca masalah bahasa tidak
konsisten daripada membaca masalah bahasa yang konsisten. Kami menafsirkan
hasil ini menunjukkan bahwa sukses bergerak dalam bidang pengolahan lebih
kognitif untuk tidak konsisten daripada masalah konsisten.
Bagaimana
menghabiskan waktu tambahan ini? Untuk menjawab pertanyaan ini, kami menguji
data fiksasi mata untuk versi konsisten dan tidak konsisten bandingkan dari
dua-langkah masalah seperti masalah mentega disajikan pada Gambar. 2.4. kita
mendefinisikan fase terjemahan sebagai waktu yang dibutuhkan untuk membaca dari
baris pertama sampai akhir baris-yang keempat adalah, waktu untuk awalnya
membaca masalah lebih dari awal sampai akhir. Kami mendefinisikan integrasi dan
fase perencanaan sebagai waktu yang dibutuhkan dari titik itu ketika siswa
mulai secara lisan menyatakan bahwa jawabannya adalah, waktu untuk membaca
ulang bagian dari masalah. menariknya, mahasiswa yang sukses dikhususkan
sekitar jumlah yang sama dari waktu ke fase terjemahan untuk konsisten dan
tidak konsisten masalah-sekitar 10 detik, namun mereka melanjutkan untuk
menghabiskan jauh lebih banyak waktu membaca ulang bagian dari masalah yang
tidak konsisten dari membaca ulang bagian dari masalah yang konsisten.
Jika
waktu tambahan digunakan untuk membangun model situasi masalah, maka waktu
tambahan harus dialokasikan secara tidak proporsional untuk membaca ulang nama
variabel dan istilah-seperti kunci sebagai "beruntung" pada baris 1,
"vons" (atau "beruntung") di baris 2, "lebih"
(atau "kurang") di baris 2, dan "vons" sejalan 4. ini
adalah informasi yang pembaca perlu untuk menentukan, misalnya, di mana
menyimpan biaya mentega lebih-kunci komponen dalam membangun sebuah model
situasi. Jika waktu tambahan digunakan terutama untuk ambil nomor, maka siswa
lebih menyukai untuk membaca ulang angka dalam masalah-yang "65 sen"
pada baris 1, "2 sen" di baris 2, dan "4 tongkat" sejalan
3. perbandingan jumlah kali sukses memecahkan masalah membaca setiap kata dalam
konsisten dan masalah yang tidak konsisten mengungkapkan perbedaan yang
signifikan hanya untuk empat kelompok kata-untuk nama variabel pada baris 1,
nama variabel di baris 2, "kurang" (atau "lebih ") di baris
2, dan nama variabel sejalan 4. secara keseluruhan, pemecah masalah membaca
ulang barang-barang ini ketika mereka berada di masalah konsisten. Hasil ini
menunjukkan bahwa sukses memecahkan masalah sensitif terhadap kebutuhan untuk
mencurahkan waktu ekstra yang dihabiskan membangun kualitatif daripada
kuantitatif repressentasi dari masalah.
Prediksi 2:
pola ini lebih lama untuk membaca waktu dari konsisten sesuai dengan
permasalahan yang akan hadir untuk pemecah masalah persoalan yang baik tetapi
tidak untuk pemecah pemecah masalah yang gagal
Prediksi
kedua adalah bahwa pola membaca waktu untuk tidak konsisten daripada untuk
konsisten masalah akan hadir untuk pemecah masalah yang mungkin sukses adalah
pemecah masalah lebih besar daripada gagal untuk menggunakan masalah model
pendekatan di kedua tipe tetapi pemecah masalah dan terhadap gagal yang mungkin
adalah lebih besar daripada sukses untuk menggunakan sebuah pemecah masalah
terjemahan langsung pendekatan di kedua jenis masalah .Prediksi ini mengikuti
dari pertentangan yang siswa menggunakan masalah model kognitif strategi lebih
pengolahan untuk tidak konsisten daripada untuk konsisten masalah , sedangkan
siswa menggunakan sebuah strategi terjemahan langsung ( yaitu , metode pilihan
essing untuk kedua jenis masalah ) .
Dalam
beberapa penelitian, kami membandingkan pola mata-fiksasi berhasil dan sukses
pemecah masalah (Hegarty et al, 1992;. Hegarty, Mayer, & Monk, 1995). Dalam
sebuah studi yang khas, kita mendefinisikan masalah sukses; kita mendefinisikan
masalah gagal sebagai seseorang yang membuat 4 atau lebih kesalahan pada set 16
masalah kata. Kami harapkan pemecah masalah yang gagal menjadi lebih mungkin
dibandingkan pemecah masalah yang sukses untuk menggunakan terjemahan langsung
pendekatan-yang isi, nomor terutama menyambar dan kata-sedangkan kunci yang
kita harapkan pemecah masalah yang sukses menjadi lebih mungkin dibandingkan
pemecah masalah gagal untuk menggunakan model pendekatan masalah -yaitu,
membangun model dari situasi yang dijelaskan dalam pernyataan masalah.
Hasil
penelitian menunjukkan bahwa, seperti yang diperkirakan, sukses pemecah masalah
menghabiskan lebih banyak waktu pada konsisten dari pada masalah yang konsisten
sedangkan pemecah masalah berhasil menghabiskan tentang jumlah waktu yang sama
pada kedua jenis masalah. Sebuah analisis lanjut dari siswa 'fiksasi mata
mengungkapkan bahwa, secara keseluruhan, p berhasil (pemecah masalah dibuat
lebih regresi) yaitu, membaca ulang bagian dari masalah lebih banyak waktu)
dari pemecah masalah yang sukses, menunjukkan dari mereka berjuang lebih untuk
membangun pemecah masalah menggunakan pendekatan terjemahan langsung, kita
mengharapkan mereka untuk mencurahkan proporsional lebih memperhatikan nomor
(misalnya, 65,2, dan 4 dalam masalah mentega). Sebaliknya, jika berhasil
pemecah masalah menggunakan model pendekatan masalah, kita mengharapkan mereka
mencurahkan lebih relatif memperhatikan nama variabel (misalnya, beruntung dan
vons dalam masalah mentega).
Seperti
yang diharapkan, sukses pemecah masalah dikhususkan persentase signifikan lebih
tinggi dari mereka membaca ulang untuk nama variabel dan persentase yang lebih
rendah dari membaca ulang ke nomor daripada pemecah masalah tidak berhasil.
Tampaknya pemecah masalah yang gagal bekerja keras untuk mewakili masalah,
tetapi menghabiskan upaya tambahan mereka tidak proporsional di membaca ulang
nomor daripada di membaca ulang nama variabel. Fokus pada nomor menunjukkan
bahwa masalah gagal pemecah tenda untuk menggunakan strategi terjemahan
langsung. Sebaliknya. Sukses pemecah masalah perlu mencurahkan pengolahan
kurang ekstra untuk masalah daripada pemecah masalah tidak berhasil, tetapi
ketika mereka lebih seimbang daripada pemecah masalah gagal dalam mencurahkan
perhatian mereka untuk kedua nama variabel dan nomor. Ini fokus lebih seimbang pada
kata-kata dan angka konsisten dengan strategi model yang masalah.
Gambar
yang muncul dari penelitian tentang masalah membaca matematika adalah bahwa ada
lebih banyak sukses representasi masalah daripada membaca setiap kata dari
masalah. Penelitian kami menunjukkan bahwa meskipun pemecah masalah sukses dan
berhasil baik menunjukkan bukti terlibat dalam proses penerjemahan, hanya
berhasil problem solver ditindaklanjuti dengan proses integrasi mengakibatkan
pembangunan model situasi. Hasil ini konsisten dengan klaim bahwa sukses
pemecah masalah yang Model yang berusaha membangun untuk memahami situasi yang
dijelaskan ini pernyataan masalah. Sebaliknya, pemecah masalah gagal seperti
ditampilkan untuk menjadi nomor tangan-tangan yang extraxt angka dan melakukan
operasi aritmatika prima oleh kata kunci dalam pernyataan masalah.
Mengingat
Masalah Kata
Pemeriksaan
protokol recall memberikan pendekatan yang berguna untuk kedua studi pemahaman
matematika (Hegarty et al, 1995;. Mayer, 1982). Dalam penelitian kami, kami
meminta siswa untuk membaca serangkaian masalah kata aritmatika. Untuk setiap
masalah, siswa ditugaskan untuk kelompok perlakuan yang diperlukan mereka baik
untuk menuliskan informasi penting, menggambar, menyusun diagram, atau
menghitung jawaban. Kemudian mereka diberi tes memori seperti recall cued dan
pengakuan.
Mayer
(1981) telah menunjukkan bahwa kata masalah terdiri dari pernyataan penugasan
dan pernyataan relasional. laporan tugas menentukan nilai numerik untuk
variabel, seperti "Pada Beruntung, mentega biaya 65 sen per tongkat".
Dalam hal ini, nilai adalah 65 dan variabel adalah biaya (dalam sen) per
tongkat di vons. tugas dapat dinyatakan sebagai kata beruntung = 65. Sebuah
pernyataan relasional mengungkapkan hubungan kuantitatif antara dua variabel
seperti "Ini adalah dua sen kurang per batang dari mentega di vons."
Dalam hal ini, relasi dapat dinyatakan sebagai persamaan, kata beruntung = 2 +
Vons, di mana kata beruntung adalah biaya (dalam sen) per tongkat sebagai kata
beruntung dan Vons adalah biaya (dalam sen) per tongkat di Vons.
Prediksi
3:siswa membuat lebih banyak kesalahan dalam mengingat laporan relasional dari
dalam mengingat pernyataan penugasan.
Pembangunan
model situasi membutuhkan perhatian khusus harus dibayar untuk hubungan antara
variabel, terutama seperti yang diungkapkan dalam laporan relasional. Oleh
karena itu, jika seorang siswa menggunakan model pendekatan masalah, maka siswa
harus ingat hubungan sebenarnya antara dua variabel dijelaskan dalam sebuah
pernyataan relasional. Misalnya, hubungan penting dalam laporan relatiomal
dalam masalah mentega adalah bahwa mentega di vons cosrs lagi yang mentega di
beruntung. Dalam contras, jika seorang siswa menggunakan strategi terjemahan
langsung, tujuan utama adalah untuk memberikan nilai pada variabel. Oleh karena
itu, thestudent kurang kemungkinan untuk benar mengingat pernyataan relasional.
Oleh karena itu ketika siswa membuat kesalahan dalam mengingat masalah kata,
akan lebih mungkin untuk membuat kesalahan dalam mengingat hubungan dari tugas.
Untuk
menguji prediksi ini, kami meminta mahasiswa untuk membaca dan kemudian untuk
mengingat untuk mengingat serangkaian delapan masalah. siswa memiliki 2 menit
untuk membaca setiap masalah, dan diminta untuk menggambar, menulis sebuah persamaan,
atau meringkas informasi utama. Sebagai prediksi, siswa membuat 3 kali lebih
banyak kesalahan dalam mengingat laporan relasional dibandingkan mengingat
pernyataan tugas yang muncul dalam masalah. Selanjutnya, analisis kesalahan
mengungkapkan 20 kasus di mana siswa diingat hubungan sebagai sebuah tugas,
tetapi hanya satu kasus di mana tugas dipanggil kembali sebagai relasi.
Misalnya, seorang mahasiswa mengubah pernyataan relasional "mesin
mendorong kapal di air masih pada tingkat 12 mil per rumah dari tingkat saat
ini," sebuah pernyataan penugasan, "mesin yang mendorong kapal pada
12 mph di air yang tenang. "hasil ini menunjukkan bahwa siswa memiliki
lebih banyak kesulitan dalam mewakili, menyimpan, atau mengambil hubungan (atau
kombinasi dari semuanya) dari tugas, dan arahkan ke kesulitan beberapa siswa
mungkin hadapi dalam menggunakan masalah model pendekatan pada masalah invcving
laporan relasional.
Prediksi
4:sukses pemecah masalah yang lebih mungkin untuk mengingat hubungan antara dua
variabel dan kurang mungkin untuk mengingat kata-kata yang tepat dari istilah
relasional dari ini adalah pemecah masalah tidak berhasil
Kita
bisa membuat prediksi yang lebih spesifik mengenai kinerja retensi berhasil dan
sukses solbers masalah. Kami mendefinisikan pemecah masalah yang sukses seperti
mereka yang menggunakan rencana solusi yang tepat dalam memecahkan serangkaian
masalah kata dan masalah gagal sebagai orang-orang yang membuat kesalahan dalam
memecahkan serangkaian masalah kata. Jika siswa yang berhasil menggunakan
pendekatan terjemahan langsung, kita mengharapkan mereka untuk mengingat kata
kunci (misalnya, "kurang" atau "lebih"), tetapi belum tentu
untuk mengingat hubungan yang benar antara variabel (misalnya, bahwa biaya
mentega lebih di vons dari beruntung), terutama siswa menggunakan model
pendekatan masalah, kita mengharapkan mereka untuk mengingat hubungan yang
benar antara variabel, tetapi tidak harus untuk mengingat kata-kata yang tepat
dari kata kunci.
Untuk
menguji prediksi ini, kami meminta mahasiswa untuk memecahkan serangkaian 12
masalah kata yang berisi empat masalah targer, yang dua-langkah masalah dengan
pernyataan relasional seperti masalah mentega. Kemudian kami meminta siswa
untuk mengingat masalah dan mengambil tes pengakuan.
Kinerja
retensi, kami mencetak respon sebagai kesalahan semantik jika siswa ingat kata
kunci (kurang), tapi tidak hubungan sebenarnya antara variabel (biaya mentega
kurang beruntung dari pada vons atau biaya mentega lebih di vons dari pada yang
beruntung). Misalnya Foe, jika salah satu melupakan masalah adalah versi dari
masalah mentega disajikan di atas ara. 2.5. Kemudian kesalahan semantik
melibatkan mengingat atau mengenali masalah menengah di ara. 2.5. Dalam hal ini
siswa mengingat kata-kata dari istilah relasional dalam laporan relasional
(kurang) tapi perubahan makna dari masalah. Demikian pula, kami mencetak respon
sebagai kesalahan literal jika mahasiswa teringat kata kunci yang salah
(misalnya "lebih" bukan "kurang") tapi mempertahankan makna
yang benar dari masalah, seperti dalam masalah bawah di ara 2,5 dalam kasus
ini, pernyataan relasional reworded tapi menggambarkan situasi yang sama
seperti aslinya.
Seperti
yang diharapkan pemecah masalah gagal lebih mungkin dibandingkan pemecah
masalah yang sukses membuat kesalahan semantik dalam mengingat dan mengenali
masalah, sedangkan sukses pemecah masalah lebih mungkin dibandingkan pemecah
masalah gagal untuk membuat kesalahan literal dalam mengingat dan mengenali
masalah. Pola ini konsisten dengan ide pemecah masalah gagal lebih mungkin
daripada sukses pemecah masalah untuk menggunakan strategi terjemahan langsung
- dengan demikian berfokus pada kata-kata bukan pada makna. Sukses pemecah
masalah, bagaimanapun, adalah lebih mungkin dibandingkan pemecah masalah gagal untuk
kita masalah Model strategi untuk memahami masalah-dengan demikian berfokus
pada makna situasi bukan pada kata-kata.
Secara
keseluruhan, penelitian tentang mengingat masalah kata titik-titik pernyataan
relasional sebagai sumber utama kesulitan, dengan pengguna strategi terjemahan
langsung lebih mungkin dibandingkan pengguna strategi Model masalah untuk
membuat semantik kesalahan dalam mengingat hubungan antara variabel.
Masalah asli
Pada beruntung,
mentega biaya 65 sen per batang
Ini adalah 2
sen kurang per batang dari mentega di vons
Jika Anda perlu
membeli 4 batang yang lebih baik
Berapa banyak
Anda akan membayar di vons?
Kesalahan
semantik
Pada beruntung,
mentega biaya 65 sen per batang
Mentega di vons
biaya 2 sen kurang per batang dari mentega di beruntung
Berapa banyak
Anda akan membayar di di vons?
Salah huruf
Pada beruntung,
mentega biaya 65 sen per batang
Mentega di vons
biaya 2 sen lebih per batang dari mentega di beruntung
Jika Anda perlu
membeli 4 batang mentega
Berapa banyak
Anda akan membayar di di vons?
Ara 2,5
kesalahan semantik dan literal dalam mengingat masalah mentega
Belajar untuk
memecahkan masalah kata
Hal
tersebut di atas analisis memberikan bukti untuk dua strategi yang berbeda yang
digunakan siswa untuk memahami masalah kata - strategi terjemahan langsung
berdasarkan analisis dangkal dari pernyataan masalah dan strategi model yang
berbasis masalah pada pembangunan model situasi pernyataan masalah. Sayangnya,
review buku matematika menunjukkan bahwa sebagian besar masalah kata dapat diselesaikan
dengan menggunakan strategi terjemahan langsung dan bahwa dalam beberapa kasus,
strategi terjemahan langsung secara eksplisit diajarkan (brian dan Larkin,
1984). Sebagai contoh, ketika satu set latihan mengandung masalah yang semua
bisa diselesaikan dengan menggunakan persis prosedur komputasi yang sama, siswa
dapat berhasil dengan menggunakan strategi terjemahan langsung dan tidak perlu
menggunakan strategi masalah Model. Dalam hal ini, tidak perlu mengeluarkan
usaha untuk memahami arti dari masalah karena masalah dapat dengan mudah
dipecahkan dengan mengekstraksi angka dalam laporan masalah dan menggunakan
kata-kata kunci untuk menentukan operasi matematika yang harus diterapkan
kepada mereka.
Prediksi 5:
siswa membuat lebih banyak kesalahan pada pemecahan masalah yang tidak
konsisten dari pada pemecahan masalah konsisten
Jika
banyak siswa terbiasa menggunakan strategi terjemahan langsung selama
pendidikan k-12 mereka dalam matematika, kita akan mengharapkan mereka untuk
melakukan errorlessly pada masalah yang dapat benar disimpan menggunakan
terjemahan langsung (yaitu masalah bahasa Konsisten), tetapi untuk membuat
kesalahan pada masalah membutuhkan masalah strategi Model (yaitu, masalah
bahasa tidak konsisten). Oleh karena itu, kami memperkirakan bahwa mahasiswa
akan lebih mungkin untuk membuat kesalahan dalam memecahkan konsisten dari pada
masalah yang konsisten. Secara khusus, kami memperkirakan bahwa jenis mahasiswa
kesalahan akan membuat pada masalah yang tidak konsisten melibatkan melaksanakan
operasi prima dengan kata kunci dalam masalah. Kita lihat ini sebagai kesalahan
reversal karena masalah pemecah menambahkan saat operasi yang benar adalah
untuk mengurangi ketika operasi yang benar adalah dengan menambahkan.
Untuk
menguji prediksi ini, kami meneliti kesalahan yang mahasiswa membuat mereka
memecahkan serangkaian masalah kata yang mengandung konsisten masalah bahasa
tidak konsisten (lewis dan mayer, 1987). Menariknya, siswa membuat kesalahan
pada sekitar 10% dari masalah dan mayoritas kesalahan yang kesalahan reversal
bukan kesalahan komputasi. bantuan temuan ini untuk menentukan lokus kesulitan
bagi siswa yang mungkin telah belajar bagaimana memecahkan masalah kata: mereka
memiliki lebih banyak kesulitan dalam mewakili masalah daripada yang
melaksanakan prosedur aritmatika; yaitu, mereka lebih cenderung untuk membuat
kesalahan dalam pemahaman masalah daripada eksekusi solusi. Seperti yang
diperkirakan, mahasiswa membuat hampir tidak ada kesalahan pembalikan pada
masalah bahasa yang konsisten tapi kesalahan pembalikan diproduksi pada banyak
masalah bahasa tidak konsisten. Demikian pula, dalam menindaklanjuti studi,
mahasiswa yang 5 sampai 10 kali lebih mungkin untuk membuat kesalahan
pembalikan pada konsisten dari pada masalah bahasa yang konsisten (Hegarty
makan al, 1992;. Lewis 1987)
Prediksi 6:
mahasiswa mengajar bagaimana untuk mewakili masalah mengurangi pemecahan
masalah kesalahan.
Hasil
ini memberikan bukti bahwa siswa yang telah menerima banyak tahun pendidikan
matematika sering gagal untuk benar memahami masalah kata - seperti yang
ditunjukkan oleh kegagalan untuk memahami hubungan antara variabel dalam
masalah bahasa tidak konsisten. Implikasi pembelajaran langsung dari baris ini
penelitian adalah bahwa siswa harus diajarkan bagaimana untuk mewakili masalah
kata - terutama, pernyataan relasional di masalah wor. Jika mahasiswa yang
membuat kesalahan reversal masalah tidak konsisten cenderung menggunakan
strategi terjemahan langsung, maka instruksi dalam bagaimana menggunakan
strategi model yang masalah harus mengurangi pemecahan masalah error.
Prediksi
ini diuji dalam penelitian instruksional oleh lewis (1989). mahasiswa mengambil
pretest mengandung masalah bahasa yang konsisten dan tidak konsisten dan
sekitar sepertiga menunjukkan pola membuat banyak kesalahan pada konsisten
tetapi tidak pada masalah bahasa yang konsisten. mahasiswa ini, yang pola
kesalahan menyarankan mereka cenderung kadang-kadang menggunakan strategi
terjemahan langsung, diberi instruksi dalam bagaimana untuk mewakili kata
masalah dalam konteks diagram nomor baris. Sebuah worksheet instruksional khas
ditunjukkan pada gambar 2.6. Dalam contoh mahasiswa ini pertama kali
diterjemahkan kalimat pertama dengan menempatkan tabungan megan pada garis
bilangan dan diterjemahkan baris kedua dengan menempatkan james ke kanan atau
kiri tabungan megan ini. Setelah siswa telah ditentukan hubungan kualitatif
yang benar antara tabungan megan dan tabungan james', langkah berikutnya adalah
untuk menentukan jumlah perbedaan dan akhirnya ke detemine operasi aritmatika
yang diperlukan untuk menemukan tabungan nilai james. Penggunaan nomor baris
dimaksudkan untuk membantu siswa untuk belajar bagaimana membangun sebuah model
situasi masalah.
Apa
efek dari pelatihan yang bertujuan membantu pengguna strategi terjemahan
langsung menjadi masalah pengguna strategi Model? Siswa yang menerima Model
masalah pelatihan strategi menunjukkan pretest besar untuk pengurangan postest
dalam memecahkan kesalahan pada masalah kata masalah, sedangkan siswa perbandingan
yang tidak menerima Model masalah pelatihan strategi tidak menunjukkan
pengurangan besar. Hasil ini memberikan bukti konvergen bahwa sumber utama dari
pemecahan masalah kesulitan masalah representasi dan bahwa strategi
representasi masalah dapat diajarkan.
Keseluruhan
gambar yang muncul dari penelitian untuk memecahkan masalah kata adalah bahwa
banyak siswa gagal untuk belajar bagaimana untuk mewakili masalah kata selama
k-12 pendidikan matematika mereka; yang mereka tampaknya telah belajar untuk mengandalkan
strategi terjemahan langsung untuk setidaknya beberapa masalah strategi model
pemecahan kesalahan masalah mereka secara dramatis mengurangi, menunjukkan
bahwa strategi representasi masalah mereka adalah penentu utama dari pemecahan
kinerja masalah mereka.
Masalah sampel
Megan telah
disimpan Dolar 420 untuk liburan. Dia telah menyelamatkan sebanyak 1/5 james
telah disimpan. James telah menabung untuk liburannya selama 6 bulan. Berapa
banyak yang telah disimpan setiap bulan?
Diagram langkah
1.
Buatlah garis jumlah dan menempatkan variabel dan nilai dari tugas
di tengah-tengah baris
2.
Untuk sementara menempatkan variabel yang tidak diketahui (james
tabungan) pada satu sisi tengah
3.
Bandingkan representasi Anda dengan informationin pernyataan
hubungan, memeriksa untuk seeif representasi Anda setuju dengan arti dari
pernyataan hubungan. Jika tidak, Anda dapat melanjutkan. Jika tidak maka coba
lagi dengan pihak lain
4.
Terjemahkan representasi Anda ke operasi aritmatika. Jika variabel
tidak diketahui adalah di sebelah kanan tengah, maka operasi adalah
peningkatan, selain kita seperti atau kelipatannya. Jika variabel tidak
diketahui adalah di sebelah kiri tengah, maka operasi penurunan, seperti
pengurangan atau divisi ..
Ara. 2.6 lembar
kerja untuk belajar untuk membangun representasi nomor baris dari masalah kata.
Diskusi
Sebuah tinjauan
dari serangkaian studi penelitian tentang membaca masalah kata (Hegarty et al
.. 1992;. Hegarty et al, 1995), mengingat masalah kata (Hegarty et al 1995;
mayer 1982) dan belajar untuk memecahkan masalah kata (lewis, 1989; lewis dan
mayer, 1987) menghasilkan enam buah utama dari bukti mengenai teori dua
strategi kami pemahaman masalah.
1.
Efek Konsistensi dalam membaca waktu untuk masalah kata.
Mahasiswa
yang sukses mengambil lebih banyak waktu untuk membaca masalah konsisten
daripada membaca masalah konsisten dan menghabiskan waktu ekstra dengan membaca
ulang nama variabel lainnya di konsisten daripada di masalah yang konsisten.
Bukti ini mendukung anggapan bahwa mahasiswa yang sukses menggunakan strategi
model yang masalah.
2.
Efek Keahlian dalam waktu membaca untuk masalah kata
Mahasiswa
berhasil fokus sebagian besar pembacaan ulang mereka pada nomor kemudian
melakukan siswa yang sukses, sedangkan mahasiswa yang sukses fokus sebagian besar
pembacaan ulang mereka pada nama variabel daripada siswa yang tidak berhasil.
Bukti ini mendukung anggapan bahwa siswa yang gagal lebih mungkin dibandingkan
mahasiswa yang sukses menggunakan strategi terjemahan langsung sedangkan
mahasiswa yang sukses lebih mungkin dibandingkan siswa yang gagal untuk
menggunakan strategi model yang masalah.
3.
Pernyataan efek waktu dalam mengingat masalah kata
Dalam
mengingat masalah kata, siswa membuat lebih banyak kesalahan dalam mengingat
pernyataan sehubungan kemudian dalam mengingat pernyataan penugasan dan lebih
mungkin untuk mengubah pernyataan relasional menjadi pernyataan penugasan
daripada mengubah pernyataan penugasan menjadi pernyataan relasional. Bukti ini
mendukung anggapan bahwa banyak siswa muncul dari sekolah tinggi dengan
kecenderungan untuk menggunakan strategi terjemahan langsung daripada strategi
model yang masalah untuk memahami masalah kata
4.
Efek Keahlian dalam mengingat masalah kata
Dalam
mengingat dan mengenali pernyataan relasional di masalah kata, siswa tidak
berhasil lebih mungkin untuk mengingat kata-kata yang tepat dari kata kunci
relasional dan kurang mungkin untuk mengingat hubungan yang benar antara
variabel dalam situasi maka mahasiswa sukses. Bukti ini mendukung anggapan
Thane mahasiswa berhasil lebih mungkin kemudian mahasiswa yang sukses
menggunakan strategi terjemahan langsung, sedangkan mahasiswa yang sukses
menggunakan strategi model yang masalah
5.
Efek Konsistensi dalam belajar untuk memecahkan masalah
Mahasiswa
berhasil membuat lebih banyak kesalahan pada konsisten dari pada masalah yang
konsisten, dan sebagian besar kesalahan kesalahan reversal bukan kesalahan
komputasi. Bukti ini mendukung anggapan bahwa banyak siswa muncul dari sekolah
tinggi dengan kecenderungan untuk menggunakan strategi terjemahan langsung
daripada strategi model yang masalah dari pemahaman masalah kata
6.
Efek Instruksi dalam belajar untuk memecahkan masalah
Siswa yang
gagal bisa menjadi mahasiswa yang sukses ketika mereka diberi instruksi
langsung di bagaimana membangun sebuah model situasi. Bukti ini mendukung
anggapan bahwa siswa yang gagal lebih mungkin daripada siswa yang gagal untuk
menggunakan strategi terjemahan langsung, sedangkan mahasiswa yang sukses lebih
mungkin dibandingkan siswa yang gagal untuk menggunakan strategi model yang
masalah.
Secara
keseluruhan, program kami penelitian menyediakan konvergen bukti bahwa
mahasiswa kemudian muncul dari k-12 pendidikan matematika dengan
keterampilan-eksekusi masalah yang memadai, kemampuan untuk secara akurat melaksanakan
aritmatika dan prosedur-tapi aljabar masalah keterampilan representasi yang
tidak memadai yaitu, kemampuan untuk memahami arti dari masalah kata. Secara
khusus, program penelitian kami diperiksa untuk strategi representasi masalah
yang berbeda - strategi terjemahan langsung, yang didasarkan pada pemahaman
yang dangkal masalah kata, dan strategi model yang masalah, yang memerlukan
mental membangun sebuah model dari situasi yang dijelaskan dalam masalah kata.
Kami telah mengembangkan ukuran diagnostik siswa representasi masalah
strategies- yaitu pola di mana siswa membuat kesalahan reversal pada tidak
konsisten namun tidak pada masalah yang konsisten (dengan tidak ada perbedaan
di kali solusi) menunjukkan strategi terjemahan langsung, sedangkan pola di
mana mahasiswa mengambil lebih banyak waktu untuk memecahkan konsisten dari
masalah yang konsisten (dengan tidak ada perbedaan dalam tingkat kesalahan)
menunjukkan strategi model yang masalah.
Selain
itu, kami telah menelusuri sumber representasi masalah kesulitan laporan
relasional -seperti ditunjukkan dengan pola di mana siswa jauh lebih mungkin
untuk membuat kesalahan dalam mengingat hubungan, yang menyatakan hubungan
kuantitatif antara dua variabel - dari dalam mengingat tugas, yang mengungkapkan
nilai variabel tunggal. Siswa menggunakan strategi terjemahan langsung lebih
mungkin untuk mengingat kata-kata dari kata kunci dalam sebuah pernyataan
hubungan daripada siswa menggunakan model pendekatan masalah, tapi siswa
menggunakan model pendekatan masalah lebih mungkin untuk mengingat hubungan
yang benar antara variabel dalam pernyataan relasional dari mahasiswa
menggunakan pendekatan terjemahan langsung.
Akhirnya,
kami telah mengidentifikasi perbedaan besar dalam strategi representasi masalah.
Masalah sukses dan berhasil dipecahkan: sukses pemecah masalah cenderung
menggunakan strategi model yang masalah, sedangkan pemecah masalah gagal
cenderung menggunakan strategi terjemahan langsung. Namun ketika, terjemahan
langsung strategi user (yang berhasil pemecah masalah) diajarkan bagaimana
menggunakan strategi model yang masalah, masalah mereka memecahkan kesalahan
sebagian besar dihilangkan (yang memungkinkan mereka untuk menjadi sukses
pemecah masalah)
Singkatnya,
penelitian kami tentang bagaimana siswa membaca, mengingat dan memecahkan
masalah masalah kata mengungkapkan bahwa sumber kesulitan dalam pemecahan
masalah matematika adalah representasi masalah daripada eksekusi solusi sumber
kesulitan dalam representasi masalah adalah dalam memahami pernyataan relasional
daripada pernyataan penugasan. Dan sumber kesulitan dalam memahami pernyataan
relasional melibatkan menggunakan strategi model yang masalah daripada strategi.
