• >
    • Strukturalisme dan Pemahaman Matematika Dalam Buku berjudul “ The Nature of Mathematical Thinking” Writer : Charles Rickart (Indonesian Translate)

    Strukturalisme dan Pemahaman Matematika Dalam Buku berjudul “ The Nature of Mathematical Thinking” Writer : Charles Rickart (Indonesian Translate)

    Posted by : Chachacino Selasa, 27 Desember 2016



    Pemikiran matematika hanyalah salah satu aspek berpikir secara umum. Oleh karena itu, pertanyaan tentang pemikiran matematika menimbulkan pertanyaan mengenai semua pemikiran. Pemikiran matematika walaupun dalam banyak hal sangat istimewa, itu mengakui dari sederhana yang melempar seperti pada semua pemikiran dan menyarankan pendekatan umum yang kuat untuk belajar yang kedua. Dasar analisis kami berpikir matematika melibatkan konsep abstrak struktur. Selanjutnya, struktur memainkan peran penting sama di semua berpikir seperti yang mereka lakukan dalam matematika, apakah atau tidak pemikir menyadari kehadiran mereka.
    Sebuah sudut pandang umum tegas berdasarkan struktur dikembangkan dalam beberapa detail dalam buku terbaru oleh penulis berjudul strukturalisme dan struktur (rickart, 1995). Sebuah tujuan utama dari buku ini adalah untuk membangun bagi pembaca gagasan yang solid struktur abstrak serta pemahaman tentang bagaimana struktur yang terlibat dalam studi dari setiap bidang serius informasi. Karena buku ini sangat dipengaruhi (setidaknya tidak langsung) oleh matematika, banyak bahan ini jelas relevan dengan materi yang disajikan di seluruh bab ini dan dirujuk sebagai diperlukan.
    Asumsi umum di belakang semua berikut ini adalah bahwa informasi dikodekan dan disimpan dalam otak dalam pertanian struktur, dan bahwa otak terutama "dirancang" untuk merekam dan memproses struktur ini. Hal ini benar meskipun fakta bahwa individu jarang menyadari apa yang sedang terjadi. Walaupun tujuan utama kami adalah untuk menjelaskan mengapa sudut pandang ini pada pemikiran adalah baik valid sebuah berguna, hal ini diinginkan untuk alasan yang jelas pertama untuk mengambil hati-hati melihat struktur untuk kepentingan mereka sendiri. Ini memberikan konsep dasar dan bahasa yang diperlukan untuk berurusan dengan pendekatan struktural yang serius untuk setiap mata pelajaran. (Dalam hubungan ini, pembaca juga mungkin menemukan berguna pembahasan struktur dan contoh yang muncul di berbagai bagian dari rickart 1995, khususnya pada bab-bab pengantar 1 pikir 3).
                Struktur yang hadir di mana-mana, baik secara eksplisit maupun implisit, dan memberikan pendekatan dimana dan situasi atau massa data mungkin dibuat inteligible. Bahkan, disiplin umum yang dikenal sebagai "strukturalisme" dan dikhususkan untuk penutup ini dan mempelajari isi struktural lapangan disebut "seni yang dimengerti" oleh Caws (1988) dalam bukunya yang berjudul strukturalisme. Dengan kata lain, isi struktural merupakan informasi yang terkandung yang akhirnya dicatat adalah pemahaman seseorang. Apa semua ini berarti menjadi lebih jelas saat kita melanjutkan.
    Subjek struktur, yang akan kita menawarkan pengenalan formal, agak berbeda dari kebanyakan mata pelajaran. Hal ini karena hampir semua orang sudah memiliki gagasan yang cukup jelas tentang apa struktur adalah tanpa manfaat dari definisi. Dengan kata lain mereka dapat memutuskan begitu saja mana banyak benda yang akrab di lingkungan mereka mungkin sah disebut struktur. Sampai titik ini mungkin keuntungan, tetapi pandangan orang memahami apa yang obyek akrab sebenarnya memiliki kesamaan. Dengan kata lain, mereka tidak memiliki gagasan umum struktur, sesuatu yang sangat membantu dalam pendekatan struktural yang serius untuk setiap subjek substansi.
    Bagian selanjutnya mengandung beberapa bahan dasar yang diperlukan untuk menangani sistematis dengan struktur. Pembaca perseptif akan mencatat kesamaan situasi ini dengan kasus matematika umum di mana seseorang dapat menjadi akrab dengan konsep-konsep matematika tertentu, katakanlah, tingkat notasi, tanpa bisa menganggap mereka dengan cara yang sama bahwa kekuatan matematika. Perbedaannya di sini adalah antara konkrit sebuah abstraksi. dengan kata lain, dengan demikian konsep yang ada dalam hal "dunia materi," atau itu independen dari yang terakhir? Perhatikan bahwa sebuah abstraksi setidaknya untuk tujuan komunikasi, biasanya membutuhkan bahasa formal untuk menghadapinya.

    DEFINISI STRUKTUR DAN SIFAT
                Struktur, menurut definisi, terdiri dari satu set objek bersama dengan hubungan tertentu di antara benda-benda. Set objek juga dikatakan memiliki struktur. Sebuah subset dari objek bersama dengan beberapa hubungan terbatas subset disebut substruktur dari struktur yang diberikan. Sebuah substruktur jelas struktur dalam dirinya sendiri, dan sifat dari struktur yang diberikan sering dinyatakan dalam substruktur nya.
    Dua struktur dikatakan isomorfik jika terdapat sebuah corespondence satu-ke-satu antara objek mereka yang melindungi hubungan (dalam arti bahwa benda dalam satu struktur yang terkait jika dan hanya jika rekan-rekan mereka dalam struktur lain juga terkait). struktur isomorfik dikatakan memiliki struktur yang sama, dan apa yang umum bagi mereka adalah struktur abstrak.
    Kami menganggap struktur abstrak sebagai memiliki eksistensi independen. Mereka juga dianggap sebagai terdiri dari benda-benda abstrak dan hubungan. Dalam struktur abstrak, sebuah benda hanya memiliki properti-properti yang itu keuntungan dengan menjadi anggota dari struktur, termasuk, misalnya. Milik yang terkait dengan benda-benda tertentu lainnya dalam struktur. Sebuah pernyataan yang sama berlaku untuk ditambang oleh set (mungkin memerintahkan) dari benda-benda yang berkaitan.
    Sebuah struktur beton terdiri dari benda-benda konkret, dan saya anggap sebagai isomorfik dengan struktur abstrak yang mendefinisikan itu adalah struktur. Hal ini juga dapat dianggap sebagai representasi dari, atau yang diwakili oleh, struktur abstrak terkait. Amati yang cukup relevan dengan sifat mereka yang berasal dari milik struktur beton yang diberikan.
    Dengan definisi ini dan konvensi, adalah mungkin untuk menyatakan secara tepat apa yang benda asing diakui sebagai struktur memiliki kesamaan: Masing-masing adalah struktur beton sesuai dengan definisi tersebut struktur.
    Perlu dicatat pada titik ini bahwa istilah "sistem" sering muncul dalam penggunaan umum sebagai synonim untuk "struktur." Kami lebih, namun, untuk menggunakan istilah ini untuk setiap koleksi benda-benda terkait bersama dengan semua "potensial" struktur yang mungkin diidentifikasi di dalamnya. Ini ternyata menjadi konsep yang berguna dari mencakup banyak contoh matematika, dari yang kami sebutkan hanya satu- "sistem nomor."Ini adalah pelajaran sehubungan dengan kedua struktur dan sistem untuk menguraikan beberapa rincian dari contoh ini. Ingat bahwa sistem nomor, yang terdiri dari angka itu sendiri sebagai obyek, juga mengakui operasi penjumlahan dan perkalian. Operasi menentukan dua "terner" hubungan didefinisikan sebagai berikut: nomor dalam memerintahkan triple (x, y, z) didefinisikan sebagai Selain terkait memberikan x + y = z, atau perkalian berhubungan yang tersedia xy = z. Ini mengidentifikasi dua struktur dalam sistem nomor. Penjelasan lengkap akan, aksioma tentu saja, membutuhkan justru menyatakan memberikan definisi bersama dengan sifat struktur individu dan bersama.
    Meskipun definisi struktur umum memungkinkan kita untuk berkonsentrasi pada konsep struktur dasar, mereka tidak membawa keluar secara eksplisit fakta bahwa struktur mungkin juga dinamis dalam karakter (subjek dibahas secara singkat dalam bab 3 dari Rickart, 1995). Seperti bisa diduga, analisis hampir semua struktur dinamis cenderung menimbulkan masalah khusus. Salah satu contoh seperti struktur adalah mesin khas dalam operasi, dan dapat diwakili sebagai struktur "biasa" yang ada di empat dimensi "ruang waktu." Jenis lain dari struktur dinamis adalah model klasik dari sebuah atom. Yang terakhir ini mengakui sangat berbeda, tapi sangat efektif, representasi dari struktur yang dinamis di mana orbit elektron bergerak mengelilingi inti atom disarankan hanya dengan menggambar orbit.
                Definisi struktur umum yang diuraikan di sini mungkin sedikit menyesatkan karena mereka mewakili struktur sebagai kesatuan yang kurang ataulebih terisolasi. Dalam praktek yang sebenarnya, tidak ada yang bisa lebih jauh dari kebenaran. Misalnya, sebagian besar struktur yang kita temui tertanam (sebagai substruktur) dalam struktur yang lebih besar yang mungkin atau tidakmungkin relevan dengan apa yang kita memiliki dalam struktur awal. Setidaknya, perhatian kita untuk struktur secaraotomatis menanamkan representasi dalam sistem kami yang selalu hadir dalamstruktur mental. Selain itu, persepsi kita tentang struktur bukan pengalaman pasif, tapi dibentuk oleh pengalaman sebelumnya yang akan menentukan banyak dari apa yang kita lihat dalam struktur yang disajikan.
    Satu komentar lebih lanjut tentang pendekatan kami adalah bahwa penekanan pada struktur abstrak adalah kejelasan komitmen parsial ke jalur pandangan idealis. Meskipun sebagian besar matematikawan tidak muncul untuk berkomitmen dengan kuat untuk posisi filosofis tertentu, kebanyakan dari mereka tampaknya berpikir dan berbicara tentang struktur matematika sebagai abstrak. Bahkan, itu adalah sedikit canggung untuk melakukan sebaliknya.

    SEBUAH ANALISA STRUKTUR BERPIKIR
    Sudah saatnya sekarang untuk membahas secara lebih rinci mengenai struktur dasar untuk berpikir secara umum. Seperti yang telah kita catat, informasi dicatat jelas melalui beberapa cara dalam sistem pikiran-otak. Meskipun rincian"sel saraf" relatif jarang sepertibagaimana materi tersebut sebenarnya tercatat, adalah wajar untuk mengasumsikan bahwa bagaimana informasi yang berupa kode diubah menjadi struktur yang pada gilirannya diwakili oleh struktur saraf. Konstruk pikiran-otak sering disebut sebagai struktur mental. Istilah ini dapat berarti baik struktur saraf beton terkait atau struktur abstrak yang mewakili itu. Perhatikan bahwa kedua titik pandang lebih memfokuskan perhatian pada konsep struktur. Untuk alasan ini, kita biasanya berpikir tentang struktur mental kesatuan abstrak.
    Seperti yang sudah disebutkan, asumsi kami adalah bahwa proses berpikir adalah salah satu fungsi khusus dari kegiatan pengolahan struktur umum dari otak manusia, dan bahan pemikiran terdiri dari informasi yang dicatat sebagai struktur dalam sistem pikiran-otak seseorang. Bahan ini terdiri dari ide-ide dan konsep; struktur cither diekstraksi dari data sementara, atau diambil dari informasi yang direkam sebelumnya.
    Meskipun kesulitan menentukan bagaimana umumnya struktur dicatat dan dikodekan dalam otak, yang sangat penting dan baik diketahui perangkat perantara yang lebih baik melibatkan penggunaan bahasa dalam bentuk apapun. Dalam hal ini, struktur diwakili oleh struktur bahasa yang melibatkan waktu. Dengan kata lain, struktur disajikan dalam keadaan tertentusaja dan bergantung pada waktu. Bentuk representasi adalah khusus karena menyediakan mekanisme untuk mengkomunikasikan isi struktur dari satu orang ke orang lain (deSaussure, 1966; lihat Rickart tahun 1995, pasal 5). Dari sudut pandang kami, penggunaan bahasa hanya satu di antara banyak cara khusus struktur yang dapat dimanipulasi. Dengan kata lain, berpikir adalah alat yang luar biasa untuk berurusan dengan struktur mental tetapi umumnya independen dari bahasa, meskipun kemungkinan komunikasi yang disediakan oleh bahasa dari suatu kepentingan khusus yang tidak diragukan lagi.
    Berpikir, dengan atau tanpa bahasa, melibatkan ide-ide atau konsep langsung dalam hal hubungan dasar intrinsik. Bagaimana pun menjelaskannya mereka harus dapat berkembang dan berinteraksi, secara independen dari dunia luar.Sistem mungkin, tentu saja, menggunakan bahan dari bank memori bahkan kadang-kadang dari luar. Dalam konteks ini, bahasa hanyamenjadi metode lain untuk memanipulasi struktur. Meskipun pemikiran biasanya independen dari bahasa, mungkin bergeser ke modus komunikasi, jika diperlukan.
    Bahasa dapat memainkan peran positif yang sangat penting dalam berpikir, tetapi juga dapat memainkan peran negatif yang serius. Sebagai contoh, adalah mungkin untuk bahasa berfungsi cukup independen dari ide-ide yang mendasari yang seolah-olah dibuat. Hal ini, tentu saja, berdasarkan strukturnya bahwa bahasa mampu mewakili sistem ide. Pada saat yang sama, struktur bahasa mungkin ada secara independen dari struktur ide yang diatur. Ketika pemisahan terjadi, substansi yang mendasari mungkin akan hilang dan kita dibiarkan denganbahasa itu sendiri. Contoh dalam kehidupa nsehari-hari, misalnya, dalam penggunaan klise. Kita melihat dalam matematika ketika formalisme digunakan tanpa ide-ide matematika yang mendasari. Dengan kata lain, struktur formalisme diadopsi untuk kepentingan diri sendiri. Ini muncul lagi nanti, ketika kita meneliti, misalnya, beberapa masalah yang terkait dengan pengajaran aljabar dasar.
    Meskipun diketahui bahwa berpikir tidak tergantung pada bahasa, ada beberapa yang berpendapat bahwa semua pemikiran sebenarnya komunikasi diri, dan dengan demikian tergantung pada bahasa dalam beberapa bentuk atau lainnya. Meskipun hal ini jelas tergantung pada definisi yang berpikir, pembatasan bahasa akan mengecualikan banyak contoh aktivitas mental, menurut saya, harus diklasifikasikan sebagai pemikiran asli. Termasuk, misalnya, pengalaman mental tertentu dari setiap matematika kreatif. Saya menawarkan contoh-contoh yang lebihspesifik.
    Berpikir umumnya dianggap terjadi di bagian sadar dari pikiran. Namun, sekali lagi karena beberapa pengalaman matematika yang agak jelas, ditambah fenomena biasa tertentu lainnya, tampak bahwa ada tidak ada destinasi tajam antara pikiran sadar dantidaksadar. Proses ini jelas dapat berlangsung baik dalam pikiran sadar atau tidak sadar dan bahkan menggeser bolak-balik antara keduanya. Apa yang terjadi ketika kesadaran terlibat adalah pemantauan atau sensor terhadap seluruh proses dengan sadar. Pengaturan sadar, meskipun kurangnya disiplin, memungkinkan kebebasan aktivitas mental yang dapat jauh lebih kreatif daripada ketika dibatasi oleh sadar. Contoh-contoh yang disajikan nanti.
    Pada titik ini penting untuk membuat destinasi disamping ketidaksadaran umum, yang kita miliki dalam pikiran ketika kita merujuk ke alam bawah sadar, dan ketidaksadaran Freudian. Tidak ada garis yang tajam membagi sadar umum dan pikiran sadar. Meskipun ada daerah di bawah sadar umum yang tidak mudah untuk sukses, banyak yang sangat dekat dengan sadar sehingga bagian antara keduanya adalah tidak sulit. Ini tidak terjadi dengan Freudian sadar, yang sulit untuk mengakses dan biasanya secara luas dipisahkan dari sadar. Pengaruh bahwa ia memiliki pemikiran matematika mungkin terbatas pada fenomena Freudian akrab, yang tidak mudah berhubungan dengan fenomena mental yang sangat rasional khas terkait dengan pemikiran matematika.

    ASPEK KHUSUS BERPIKIR MATEMATIKA
    Meskipun pemikiran matematika adalah salah satu bentuk pemikiran asli, itu tidak menunjukkan fitur khusus yang mengatur terpisah dari kebanyakan pemikiran lain. Satu hal yang menonjol di sini adalah fakta bahwa subjeknya abstrak, terdiri dari struktur matematika murni. Apakah konten tersebut aritmatika biasa, aljabar dasar, atau topik yang sangat maju, maka perlu abstrak untumemahami dengan benar. Siapa pun yang memahami jangka pendek dari ini adalah untuk yang tingkat cacat dalam penggunaan matematika.
    Fitur lain yang khusus matematika adalah bahasanya. Sejauh pemikiran biasa yang bersangkutan, bahasa yang digunakan bila diperlukan adalah bahasa biasa yang sudah ada, sedangkan di cas matematika, bahasa sangat khusus dan harus dipelajari bersama dengan materi pelajaran. Hal ini biasanya cukup formal dan juga sangat dekat dengan konten matematika yang mendasari; begitu dekat, pada kenyataannya, bahwa formalisme ini kadang-kadang naif bingung dengan matematika itu sendiri. Seperti dalam pemikiran biasa, pemikiran matematika mungkin hanya melibatkan konten atau mungkin juga melibatkan bahasa formal. Keterlibatan hanya bahasa, yang berjumlah baik mengabaikan konten atau indentifying dengan struktur bahasa, biasanya tidak baik dalam kedua kasus. Ada pengecualian, bagaimanapun, tht disebutkan dalam bagian berikutnya. Kebingungan naif konten dan formalisme adalah, dalam banyak kasus, sebuah kelemahan utama tingkat rendah yang berdiri di jalan pemahaman yang benar tentang matematika. Ini adalah masalah khusus dalam kasus topik dasar seperti aljabar dasar. Pembatasan konten tidak begitu umum dan biasanya melibatkan matematika yang lebih berpengalaman.
    Beberapa perbedaan khusus yang penting antara pemikiran matematika dan berpikir biasa dapat dibawa keluar dengan memeriksa bagaimana anak-anak belajar materi paling dasar. Tempat yang baik untuk memulai adalah dengan hal bahasa. Jelas bahwa anak-anak memiliki dorongan naluriah untuk belajar bahasa, seperti yang dibuktikan dengan cara spontan mereka terlibat dalam pembelajaran.
    Jelas bahwa tidak ada seorang pun yang bisa memisahkan belajar materi baru dan belajar bahasa dalam hal materi yang diterangkan. Dalam suatu kata, proses belajar bercampur keduanya. Selain itu, jika ada orang yang mengganggu untuk memberikan perhatian, mereka akan terkesan dengan cara setiap orang dewasa yang melakukan kontak dengan anak secara otomatis mengasumsikan peran seorang guru. mereka akan menyesuaikan suara mereka dan mengulangi frase untuk memudahkan anak untuk mempelajari penggunaan bahasa yang benar.
    Pengamatan lebih dekat akan menunjukkan bahwa anak-anak juga mempelajari angka-angka, bersama dengan pembimbing mereka, sama seperti mereka dapat belajar bahasa. Belajar tentang sistem bilangan, tentu saja, sangat berbeda diawal dari belajar tentang sistem bahasa. Di tempat pertama, mampu mengenali sedikit proses dan hasilnya tidak membandingkan pentingnya dengan bahasa. Perkembangan pemahaman tentang sistem bilangan bisa didorong dengan belajar bahasa, tetapi beberapa orang tua, terampil atau tidak dalam matematika SD, yang berpikir untuk mendorong dan membantu anak yang tumbuh dengan cara ini. Perbedaannya adalah di spontanitas, yang mendominasi belajar bahasa biasa tetapi mengabaikan dalam mempelajari angka. Hasilnya adalah individu yang akan kesulitan kemudian dengan masalah dasar matematika pada tingkat yang sama sekali berbeda. Kami menyebutkan masalah di sini karena penting dan juga menuntut perlakuan sangat berbeda kemudian. Hal ini sangat penting baik dalam pengajaran aritmatika dan aljabar dasar.
    Saya ngelantur sementara pada saat ini untuk mengutip contoh yang agak berbeda, satu pribadi yang melibatkan putra bungsu saya ketika ia adalah seorang anak prasekolah awal. Suatu hari saya menunjukkan padanya sebuah garpu biasa dan bertanya pertama berapa banyak cabang yang dimiliki garpu dan kemudian berapa banyak "ruang" itu. jawabannya di sini adalah 4 dan 3, bot yang sangat mudah, jadi saya bertanya terdapat berapa banyak ruang ketika garpu memiliki berbagai (memuat) angka lain dari garpu. Jawaban-jawaban ini juga sangat mudah, meskipun saya yakin bahwa ia belum pernah melihat garpu dengan lebih dari 4 cabang. Intinya adalah bahwa ia bisa membayangkan tanpa adanya upaya sesuatu yang belum pernah dilihat dan juga segera mengerti bahwa itu harus proses fitur struktural tertentu. Ini adalah jenis pemahaman intuitif yang saya anggap sebagai fundamental yang signifikan dan berkaitan erat dengan pemahaman matematika lainnya. Secara kebetulan, saya tidak mengerti perkara tersebut kemudian juga seperti yang saya lakukan sekarang, atau aku akan mengupayakan lebih jauh lagi.
    Sekarang kita kembali pada pertanyaan tentang bagaimana kita belajar dan datang untuk memahami matematika dasar di tingkat aritmatika dan aljabar dasar. Meskipun masalah umum di sini adalah sepintas sama seperti masalah yang terkait dengan materi pembelajaran SD apapun, matematika ini berbeda pada detailnya.
    Hampir semua siswa di sekolah dasar sudah lama melewati tahap mampu secara spontan untuk belajar tentang struktur sistem bilangan biasa. Oleh karena itu, hal ini perlu ditangani dengan cara yang berbeda. Idealnya, sistem bilangan harus diperkenalkan dan beberapa cara yang strukturnya disampaikan kepada siswa sehingga ide dasar lebih mendominasi terlepas dari deskripsi tersebut. Di tingkat SD, tidak practicial untuk melakukan hal ini dengan cara formal. Latihan biasanya dapat dengan hanya bersifat implisit dalam cara aritmatika yang diajarkan, begitu banyak gambar yang harus disampaikan pada prilaku dan ekspresi dari seorang guru yang mengerti apa yang sedang terjadi. Ini adalah masalah yang sangat rumit dan sering memiliki kelemahan. Oleh karena itu, tidak unusal bagi banyak siswa tanpa berakhir dengan baik atau suatu pengertian secara serius yang rusak dari sistem bilangan aritmatika. Akan menjadi sulit untuk membantu siswa ketika kesalahan tersebut menjadi terbukti, bahkan jika guru memahami sifat dari sesuatu masalah yang mungkin menjadi umum. Siswa yang menghindari masalah ini biasanya mampu melakukannya karena mereka mempertahankan beberapa kemampuan naluriah mereka untuk memahami materi numerik.
    Ini membawa kita sampai pada tahap berusaha mengajarkan siswa tentang aljabar dasar. Situasi yang ideal adalah mengatasi siswa yang telah memperoeh dari pengalaman mereka dengan gambaran aritmatika intuitif yang benar dari sistem bilangan biasa. Dengan demikian, masih banyak siswa yang memiliki masalah. Sering kali, kesuksesan siswa adalah menekankan atau menghilangkan  banyak masalah yang tidak pernah dapat dipahami kebenaran dari sistem bilangan bagian dari suatu rumus. Harus diakui di sini bahwa dalam situasi yang sama bisa ada dalam pembelajaran dari sesuatu substansi yang baru. Permasalahan khusus yang sulit dalam matematika, namun demikian, disebabkan karena siswa mungkin memiliki gambaran yang salah, tapi sangat kokoh didirikan, dalam sistem bilangan SD karena pengalaman buruk mereka dengan aritmatika. 
    Meskipun siswa yang memiliki anggapan yang benar dari sistem bilangan dasar, masih terdapat masalah dengan pembelajaran aljabar. Meskipun sistem aljabar dapat timbul dari pemahaman awal dari sistem bilangan dasar, kenyataannya tetap bahwa sistem aljabar lebih inklusif. Disamping itu juga mencakup, misalnya, sistem yang jauh lebih besar yang dibentuk oleh semua polinomial. Sistem bilangan jelas memiliki sifat khusus yang tidak dimiliki oleh sistem aljabar. Ini bukan hal yang aneh, tentu saja, karena sebuah struktur tidak perlu membahas semua sifat-sifat yang menunjukkan struktur nyatanya. Bagaimana pun juga, gambaran yang tepat dari sistem aljabar tidak akan isomorfik dengan gambaran penuh dari sistem bilangan. Transisi antara sistem jumlah dan sistem aljabar jelas bukan merupakan langkah kecil dalam memahaminya.
    Untuk tujuan praktek, saat ini saya telah membatasi perhatian terhadap aritmatika biasa dan aljabar dasar. Sampai tingkatan matematika yang berkaitan, namun, geometri juga harus disertakan, tetapi sebenarnya sedikit berbeda dari orang lain. Misalnya, subyek dasar geometri meliputi gambar yang dikenal, seperti garis lurus, segitiga, dan lingkaran, mungkin, beberapa benda tiga dimensi. Ini diperoleh sangat awal. Mereka juga memiliki hubungan yang berbeda untuk bahasa. Faktanya, sampai batas tertentu, bahasa berkaitan dekat dengan bahasa sehari-hari.
    Hal ini mungkin salah satu alasan mengapa banyak siswa melaporkan bahwa geometri dasar itu mudah, sedangkan aljabar dasar itu sulit. Dengan kata lain, dasar geometri ini dipelajari seperti hal lainnya yang dipelajari, sehingga dapat ditangani dengan cara yang relatif rutin. Pada akhirnya, tentu saja, geometri perlu dalam menghadapi pertanyaan yang serupa dengan orang yang akhirnya mendasari setiap bidang matematika yang serius.

    BENTUK VERSUS ISI
    Masalah pengajaran aljabar dasar mirip dengan masalah mengajar (atau pembelajaran) setiap bagian baru dari matematika. Ada dua pertanyaan yang harus diatasi. Yang pertama melibatkan tingkat pemahaman tentang subjek latar belakang masalah yang mengarah ke subjek langsung dengan minat, dan yang kedua melibatkan formalisme yang terkait dengan subjek. Item terakhir ini sangat istimewa dalam matematika, sehingga berbeda dari materi pembelajaran lainnya. Hal ini mengacu sangat jelas dengan isi struktural subjek.
    Perhatikan bahwa ada kerancuan di sini karena matematika dapat bereaksi terhadap materi dalam dua cara yang berbeda. Ada kalanya konten sangat penting, yang berarti bahwa penekanan hampir sepenuhnya pada sifat matematika dalam sistem yang dijelaskan oleh bahasa formal. Di lain waktu, perhatian pengguna dapat diserap oleh sistem terkait matematika dan memberikan operasi yang dikurangi untuk sedikit lebih dari formalisme murni. Yang penting, bagaimanapun, adalah kenyataan bahwa perhatian matematikawan bisa dialihkan secepatnya ke konten balik formalisme yang memberikan bila diperlukan. Saya juga menyebutkan secara sepintas bahwa ada beberapa formalis yang menyamakan matematika untuk formalisme nya. Ini, bagaimanapun, adalah posisi filosofis rumit yang memiliki kesamaan dengan pandangan siswa SD.
    Salah satu masalah dalam pengajaran rutin aljabar dasar adalah bahwa terkadang dapat mengurangi apa yang lebih dari mengajar formalisme. Ini bisa menjadi masalah yang sangat serius ketika pemahaman siswa dari struktur aritmatika yang dasarnya kurang memadai, dan oleh karena itu satu-satunya jalan adalah untuk kembali pada formalisme. Hal ini tidak biasa bagi banyak tes yang akan dibangun untuk mengukur penguasaan formalisasi aljabar daripada konten matematika di balik itu. Untuk alasan ini, tidak jarang untuk mencari siswa yang memiliki catatan yang cukup baik sejauh nilai yang bersangkutan, sehingga cukup mahir formalisasi aljabar dasar, tapi belum mengerti cukup baik aljabar dasar untuk menangani penerapan untuk kalkulus. Perlu dikatakan, mahasiswa tersebut hampir melampaui Menyelamatkan. Semakin jauh mereka telah pergi ke arah ini, semakin sulit adalah untuk memasok ketinggalan pemahaman yang sangat diperlukan untuk banyak penerapan dari aljabar dasar.
    Maka akan dirasakan adil untuk menunjukkan bahwa sebagian besar program studi di aljabar dasar tidak mengatasi langsung masalah pemahaman. Namun demikian, beberapa siswa secara otomatis mengisi pemahaman yang benar. Ini adalah manifestasi akhir dari kemampuan yang anak-anak kecil cenderung untuk tunjukkan secara otomatis jika mereka diperbolehkan atau terdorong untuk melakukannya. Ini adalah contoh dari dorongan untuk menyelesaikannya, dalam satu cara atau lain, sebuah struktur yang "belum selesai". Perbaikan siswa tersebut, setidaknya sebagian, beberapa kekurangan dalam pelatihan mereka sebelumnya. Kecenderungan banyak guru, untuk menghindari masalah pemahaman cenderung tumpul untuk koreksi diri hal itu mungkin menyelamatkan seorang siswa. Tujuan guru Aljabar harus mencakup kesadaran konstan untuk membantu siswa memasok atau mengembangkan pemahaman dasar tentang sistem aljabar.
    Siswa yang menguasai operasi aljabar formal tanpa mampu berhubungan dengan konsep sistem aljabar entah bagaimana diganti konsep aljabar yang diinginkan dengan struktur yang relatif dangkal dari bahasa formal terkait. . Kita sebut bentuk tanpa konten (atau struktur. Ini adalah kasus khusus dari mengganti struktur bahasa untuk struktur material yang bahasa seharusnya dijelaskan. Ini benar-benar dapat terjadi pada tingkat yang jauh lebih tinggi dari aljabar, seperti yang ditunjukkan oleh contoh pribadi berikut
    Beberapa tahun yang lalu saya diundang untuk memberikan ceramah selama satu jam sebelum pertemuan American mathematical society. Ini adalah suatu tugas penting, jadi aku mengabdikan banyak upaya untuk persiapan saya bicara. Bahkan, aku mempersiapkannya sangat baik. Akibatnya, ketika aku memberi penjelasan, aku mendapati diriku berdiri di hadapan penonton dan mendengarkan, daripada berpikir tentang kuliah saya. Dengan kata lain itu berkurang untuk kasus yang jelas tentang bentuk tanpa konten. Isi kuliah diturunkan ke bahasa bukan ide-ide, dan bukannya menikmati aliran ide, saya hanya mengalami aliran kata-kata. Tak perlu dikatakan, ini adalah sangat tidak biasa dan pengalaman tidak menyenangkan bagi saya dan saya hanya bisa berharap bahwa para penonton tidak menyadari apa yang terjadi. Kebetulan, ini mungkin adalah alasan mengapa matematikawan jarang memberikan ceramah dengan "membaca" sebuah naskah ke penonton. Pada saat yang sama saya saya bingung oleh kenyataan bahwa dibedakan wakil-wakil bidang nonscientific sering memberikan kuliah dengan membaca sebuah naskah yang disiapkan.
    PENGALAMAN KREATIF MATEMATIKA
    Sangat sulit bagi seorang matematikawan untuk menyampaikan kepada nonmathematician setiap beberapa gagasan tentang sifat pengalaman kreatif dalam matematika. Sebagian dari masalah adalah karena fakta bahwa beberapa pengalaman yang kaya dengan pemikiran mathematicial melibatkan nontrivial matematika yang tidak dapat secara memadai menggambarkan tanpa menggunakan bahasa matematika sangat teknis. Meskipun itu masalah, seorang matematikawan sangat dibedakan, Henri Poincare, diterbitkan sebuah esai, penciptaan Mathematicial (Poincare, 1913, pp, 383-394).
    Esai berisi penjelasan tentang pengalaman pribadinya dalam menemukan beberapa matematika pasti nontrivial. Diskusi yang cukup rinci Poincare's esai diberikan dalam Rickart (1995, Bagian 44), di mana penekanan cenderung menjadi lebih dalam bahwa matematika cocok ke dalam pendekatan umum strukturalisme. Semua referensi saya untuk Poincare adalah untuk esai.
    Tak perlu dikatakan, esai Poincare tidak memberikan analisa teknis matematika di mana pernyataannya didasarkan, tapi agak dikhususkan untuk pembahasan tentang cara pikiran yang berurusan dengan ide-ide. Meskipun ada misteri apa yang sebenarnya terjadi dengan matematika, seseorang dapat menghargai gelar bagaimana ide-ide yang dimanipulasi. Suatu fakta yang menarik adalah bahwa bagian penting dari pengalaman yang terjadi di bawah kesadaran Poincare. Meskipun semua pendekatan untuk subjek ini memiliki banyak kesamaan, penting untuk dipahami bahwa Poincare hanya menggambarkan hanya satu dari banyak kemungkinan variasi pengalaman dari jenis ini, ini juga penting untuk dipahami bahwa apa yang terjadi tidak secara unik ditentukan oleh kenyataan bahwa hal itu menyangkut matematika. Pengalaman semacam ini dapat terjadi dalam berbagai subjek dan pada setiap tingkat pemahaman.
    Poincare menekankan bahwa pengalaman kreatif dilanjutkan oleh banyak kerja keras matematika pada masalah, yang tidak menghasilkan solusi. Hal ini diikuti oleh relaksasi dengan sesuatu yang sama sekali tidak terkait untuk masalah yang belum terpecahkan. Meskipun pikiran sadar Poincare sehingga tidak lagi menangani masalah ini, sadar ( "subliminal diri") nya terus menerus bekerja pada masalah dan akhirnya datang dengan solusi. Ia menganggap solusi sebagai "kombinasi yang baik" entitas matematika dikenal dan menyarankan bahwa hasil memiliki nilai estetis yang membawa ke dalam kesadaran. Ia juga dikaitkan dengan nilai aesthethic dengan karakter keindahan dan keanggunan. Entitas semacam itu “adalah mereka yang unsur-unsurnya harmonis dibuang sehingga pikiran tanpa usaha dapat merangkul mereka benar-benar tanpa menyadari rincian.." Ini adalah yang paling berguna dan indah karena mereka memimpin dengan matematika
    Poincare menekankan pentingnya pekerjaan sadar awal yang menyediakan bawah sadar dengan pasokan yang besar dari kombinasi, yang sebagian besar tidak berguna. Dia memperkirakan bahwa "elemen masa depan kombinasi kami adalah sesuatu seperti atom ketagihan Epikurus." Biasanya bergerak dan "bengkok ke tembok." Dalam keadaan tertentu yang acak (mungkin dihasilkan dari pekerjaan sadar awal), atom tertentu terlepas dari dinding dan bergerak "seperti molekul gas dalam teori kinematis gas," Jadi kombinasi baru yang diproduksi oleh dampak mereka saling. Intinya adalah bahwa kombinasi akhirnya dipilih cenderung kombinasi yang baik.
    Hal ini dimungkinkan untuk memberikan deskripsi yang lebih struktural apa yang mungkin terjadi pada gambar Poincare. Rekening berikut, berdasarkan struktur otak, adalah sketsa dari diskusi yang lebih rinci diberikan dalam Rickart (1995). Ini dilihat struktur otak sebagai jaringan listrik besar, meskipun fakta bahwa itu adalah cukup lebih kompleks dari itu. Dalam gambar ini, allof struktur mental kita muncul sebagai networkseach listrik yang merupakan substruktur dari semua struktur otak inklusif.
    Sebuah jaringan otak tidak aktif sampai dapat menjadi elemen dalam pengolahan struktur umum. Kita mungkin berpikir kedepan tentang "aktif" sebagai struktur yang disorot dan karena itu pengolahan umum. Proses relevan dengan penciptaan matematika adalah proses perpanjangan
    Hal ini berarti penyusunan struktur yang lebih besar salah satunya yang telah diberikan termasuk sebagai substruktur. Ekstensi dapat berupa struktur baru atau struktural gabungan dari struktur yang telah diberikan ke struktur lainnya yang sudah ada sebelumnya. Kedua kasus ini dapat dianggap sebagai pertumbuhan struktur yang telah diberikan atau struktur yang dikenal dan hasilnya biasanya adalah struktur matematika baru. Pertanyaannya sekarang adalah, "Bagaimana bisa pengalaman Poincare dijelaskan dalam bentuk seperti ekstensi struktur?" 
    Kita mungkin berpikir dari struktur yang diberikan sebagai potensi dari pertumbuhan melalui adanya poin konektor sensitif di atas permukaan struktur. Ini adalah poin dengan potensi yang masuk ke koneksi saraf listrik dengan bahan luar struktur yang diberikan, mungkin juga dengan struktur yang lainnya. Kreativitas matematika terdiri dalam menggantikannya struktur matematika yang familiar dengan satu yang lebih besar yang merupakan struktur matematika yang sebelumnya tidak dikenal dengan baik. Sama seperti untuk Poincare, ekstensi direncanakan selain dari hal-hal yang dipelajari dalam pekerjaan awal pada masalah, dan ekstensi yang baik adalah mereka yang bagus, yang dipaksa menjadi kesadaran dengan kebagusan mereka. Perlu dikatakan, hanya apa yang membenarkan keindahan selain dari kegunaan, agak kesulitan untuk rincinya. Dalam kasus apapun, untuk matematikawan yang berpengalaman keindahannya adalah seringkali cukup jelas, meskipun mungkin sulit untuk dijelaskan.
    Hal ini berguna untuk menjelaskan contoh lain yang jauh lebih biasa dari pengalaman kreatif yang memiliki kesamaan dengan pembahasan sebelumnya. Ini adalah pengalaman pribadi lain dan mungkin tidak akan menilai yang disebutkan dalam konteks lain. (Itu juga dibahas, bersama dengan contoh lain, di Rickart 1995)
    Contoh yang memerlukan pembuktian dari karya yang telah saya tulis untuk diterbitkan dalam jurnal penelitan standar. Segala sesuatu yang cukup rutin karena perbaikan hanya yang kurang berarti, sehingga praktek yang biasa akan terdiri dari mengembalikan lembaran dalam surat. Untuk beberapa alasan yang tidak diketahui pada saat itu, saya menempatkan lembaran di samping dan ditunda mengembalikannya ke dalam jurnal tersebut. Sementara itu, saya memperhatikan bahwa saya otomatis meninjau kembali salah satu pembuktian lemma di dalam makalahnya. Itu terjadi pada waktu yang aneh bahkan ketika karya tersebut tidak dalam pemikiran saya.
    Menyebabkan lemma adalah salah satu yang penting dan saya umumnya senang dengan itu. Bahkan, mengingat bukti itu analog dengan meninjau mekanis melodi dari sepotong favorit musik. Satu-satunya perbedaan di sini adalah bahwa saya ingat buktinya pada waktu yang aneh atau tidak nyaman dan ada compulsiveness tertentu tentang semuanya. Di bawah kecemasan berkembang, akhirnya saya memaksakan diri untuk duduk dan meninjau bukti lemma. Masalahnya, tentu saja, adalah bahwa bukti lemma terkandung kesalahan. Untungnya, kesalahan itu tidak buruk, sehingga agak mudah untuk memperbaiki, memungkinkan saya untuk kembali bukti tanpa penundaan lebih lanjut.
    Perhatikan bahwa pengalaman tersebut adalah salah satu sadar dan menunjukkan bahwa sadar tidak hanya tanpa hambatan sebagai pencipta, tetapi juga seorang kritikus halus juga. Pada saat yang sama, kita dapat bertanya mengapa sadar tidak memberikan jawaban bersama dengan peringatan dari kesalahan. Meskipun tidak sepenuhnya jelas mengapa demikian, mungkin tidak sadar dapat menangani eksplorasi atau pengembangan struktur, tapi Joes tidak memiliki fasilitas untuk membuat referensi tentang struktur. Oleh karena itu, dapat "pameran" struktur cacat tapi tidak bisa menjelaskan itu. Bahkan, pameran cacat struktur mungkin tidak lebih dari sebuah hasil langsung berlari ke cacat sambil menjelajahi struktur. Poincare juga menunjukkan fakta bahwa alam bawah sadar tampaknya tidak pernah menyajikan satu dengan rincian solusi. Sadar rupanya selalu diperlukan dalam mengisi dari rincian konfirmasi, atau dalam penyediaan komunikasi apapun. Pembaca akan menemukan diskusi tambahan kreativitas matematika oleh Hadamard (1954).
    Salah satu masalah dengan account tersebut sering dikutip kreativitas adalah bahwa mereka menunjukkan bahwa kreativitas adalah pengalaman disediakan untuk pikiran besar. Hal ini tidak terjadi, karena pengalaman serupa yang sama dengan orang biasa ketika mereka mengalami sesuatu yang com-monplace sebagai pengenalan wajah. Masalahnya adalah bahwa pengalaman ini terjadi begitu sering dan begitu santai bahwa mereka tidak diakui sebagai benar crea¬tive. Sebuah analisis sederhana dari banyak pengalaman semacam ini akan mengungkapkan kualitas kreatif mereka.

    KETERANGAN KUALIFIKASI      
    Saya termasuk di sini beberapa komentar pada penggunaan kami sebelumnya struktur saraf otak. pembaca mungkin menyadari fakta bahwa daya tarik saya ke struktur saraf tidak ketat dan fungsi hanya sebagai cara yang nyaman untuk memvisualisasikan apa yang sedang terjadi. Untuk menentukan bagaimana struktur sebenarnya diwakili dalam struktur saraf sebenarnya adalah masalah yang sangat sulit, sehingga mungkin tidak mengherankan bahwa tidak banyak yang diketahui tentang masalah ini. Terlepas dari kesulitan, namun, penggunaan simbol representasi struktur saraf nyaman sampai titik tertentu. Pada saat yang sama, objek matematika tertentu menunjukkan bahwa struktur saraf tidak apa yang akhirnya dibutuhkan.
                Perhatikan, misalnya, konsep segitiga. Perhatikan bahwa ini some¬thing agak tepat dan kami harapkan konsep yang akan direkam kurang lebih sebagai gambar yang tajam segitiga. Sulit untuk memahami, bagaimanapun, bagaimana sosok bersih segitiga dapat direpresentasikan dalam massa kacau serabut saraf. Semuanya menjadi lebih sulit ketika menyadari bahwa konsep segitiga harus mencakup berbagai macam segitiga; termasuk, misalnya, segitiga yang sama sisi, kanan siku, akut atau tumpul an¬gled, dan sebagainya. Mungkin struktur otak sedang dipertimbangkan di tingkat yang salah. Berikut ini, jenis yang sangat berbeda dari contoh, adalah sugestif.
    Pertimbangkan gambar tokoh (matematika) pada selembar kertas. Struktur ini bisa sangat tajam dan mungkin berisi banyak informasi. Selain itu, kertas yang mengusung struktur terhunus juga struktur yang kompleks yang objek adalah molekul dari berbagai jenis. Meskipun kertas memainkan peran penting dalam representasi sosok matematika, yang struc-mendatang, setidaknya pada tingkat molekuler, tampaknya benar-benar irrevalant. Apakah mungkin bahwa struktur saraf yang mendasari otak ini tidak relevan untuk representasi dari struktur yang menarik minat kita? Apakah ada tingkat di mana otak dapat dilihat sebagai struktur yang dapat melayani peran analog dengan dilayani oleh struktur bruto secarik kertas dalam kasus sosok ditarik? Tak perlu dikatakan, saya tidak bisa menjawab pertanyaan ini dan tidak tahu mana tingkat struktural mungkin lebih relevan.

    KEMAMPUAN MATEMATIKA
    Hal ini jelas bahwa individu sangat bervariasi dalam kemampuan thir untuk memahami mathe¬matics-kemampuan yang sangat bervariasi dengan usia. Beberapa anak mungkin memiliki dif¬ficulty dari awal, sedangkan yang lain baik di matematika sampai ke titik di mana tiba-tiba menjadi tidak mungkin. Kesulitan tiba-tiba dengan matematika dapat terjadi pada hampir setiap tahap. Akhirnya, ada beberapa yang sangat berbakat dengan matematika dan tampaknya tak terbatas dalam kemampuan mereka untuk mengembangkan dalam subjek. Apa perbedaan di sini? Apakah mereka genetik atau mereka hasil dari kombinasi tertentu dari pengalaman? Apakah ada beberapa yang, untuk beberapa alasan, hanya tidak bisa berpikir matematis luar titik tertentu? Perbedaan kemampuan dalam berbagai subjek sulit untuk menganalisis, tapi mungkin lebih mudah untuk berurusan dengan matematika daripada dengan bidang lain karena keterlibatan yang lebih jelas dari struktur di kedua.
    Kami telah melihat beberapa kesulitan yang timbul dengan anak-anak yang berhadapan dengan masalah pembelajaran matematika. Beberapa di antaranya kembali ke pengalaman pertama dengan angka yang terjadi pada tingkat yang sama seperti belajar bahasa. Hal ini jelas bahwa kesulitan pada tingkat ini akan meningkatkan kesulitan mengembangkan gagasan yang tepat dari sistem nomor dalam proses belajar tentang angka dalam aritmatika dasar. Kami juga telah melihat bahwa masalah dengan sistem nomor biasa secara otomatis membuat dif¬ficulties ketika datang untuk belajar tentang sistem aljabar dalam perjalanan belajar aljabar dasar. Sayangnya, masalah ini menumpuk dan masalah mengoreksi mereka menjadi semakin sulit. Perhatikan bahwa dalam semua kasus ini masalah tidak dibangun di tapi hasil dari celah atau kesalahan dalam mengajar atau belajar. Dengan kata lain, kesulitan bisa dihindari oleh penanganan yang tepat dari masalah, sehingga tidak sesuatu yang seorang individu terjebak dengan karena faktor keturunan.
    Hal ini jelas bahwa siapa saja yang telah memiliki kesalahpahaman tentang jumlah atau aljabar sistem diperbaiki akan lebih mampu menghadapi dengan matematika lebih maju. Pada saat yang sama, penting untuk menunjukkan bahwa ada dapat menjadi cacat abadi tersisa dari pengalaman tersebut. Pikiran tidak seperti komputer: Ketika sesuatu dikoreksi itu tidak dibersihkan, tapi hanya "ditandai" dan kemudian diikuti oleh koreksi. item ditandai selalu ada dan mungkin tidak biasanya timbul kesadaran, tetapi masih ada dan secara tidak sengaja dapat memaksa jalan ke perhatian. Oleh karena itu, meskipun cor¬rection, kesalahan tidak pernah benar-benar dihapus dan dapat memperlambat penggunaan seseorang dari konsep yang terlibat. Saya percaya bahwa sebagian besar matematika dapat mengeruk pengalaman matematika untuk mendukung pernyataan ini, tapi mungkin akan lebih baik bukan untuk mengutip pengalaman sehari-hari, yang sekarang saya lakukan.
    Beberapa tahun yang lalu kami menanam pohon peach kecil di halaman belakang kami. Ini mengejutkan kami musim pertama dengan memproduksi beberapa buah persik yang luar biasa besar. Reaksi membabi buta pertama saya ke acara ini menjadi kagum bahwa pohon kecil seperti yang dihasilkan Persik besar tersebut. Saya telah dikenal untuk. waktu yang lama, tentu saja, bahwa ukuran buah persik tidak ada hubungannya dengan ukuran pohon, tapi kadang-kadang sebelum saya belajar bahwa sebenarnya saya harus dikaitkan ukuran buah dengan ukuran pohon. Itu bagian dari informasi yang salah, kecuali tajam dipantau, masih bisa memaksa jalan ke kesadaran saya. Item mungkin sangat bervariasi, tentu saja, dalam kecenderungan mereka untuk dipanggil kembali. Hal ini tidak mengherankan bahwa sepotong informasi yang keliru matematika dapat muncul dengan cara yang sama. Suatu kejadian dalam kesadaran mungkin jarang terjadi, tetapi mudah untuk melihat bahwa itu mungkin masih sering memperlambat pemikiran seseorang tentang topik yang menarik.
    Meskipun kami telah menekankan item matematika dasar di bab ini, fenomena yang sama dapat terjadi dengan bahan yang lebih maju. Disana, sepotong dikoreksi informasi matematika di tingkat manapun mungkin mengakhiri karir di subjek. Dengan kata lain, jenis ide-ide matematika begitu penting untuk memahami banyak hal yang akan mengejutkan jika pembatasan pada pembelajaran matematika -adalah terbatas pada kualitas bawaan. Pengecualian untuk dugaan ini mungkin dalam rangka untuk sangat langka, matematikawan yang sangat berbakat. Diakui, kemampuan mereka mungkin didasarkan pada sesuatu yang bahkan absen di banyak ahli matematika sangat sukses.

    Leave a Reply

    Subscribe to Posts | Subscribe to Comments

    • Popular Posts

    Blog Archive

    Diberdayakan oleh Blogger.

    Copyright © - Setetes Ilmu

    Setetes Ilmu - Powered by Blogger - Designed by Johanes Djogan